Cálcule e verifique sua resposta por derivação.
\int e^{\sqrt{2} x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida \displaystyle \int e^{\sqrt{2}x}\,dx e verificar o resultado por derivação. O conteúdo é integração de exponencial com argumento linear, e vamos usar substituição para simplificar o cálculo.

Passo 2

Seja
u = \sqrt{2}\,x,
então
du = \sqrt{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{\sqrt{2}}.
Substituindo na integral original:
\int e^{\sqrt{2}x}\,dx = \int e^{u}\,\frac{du}{\sqrt{2}}.

Passo 3

Como \tfrac{1}{\sqrt{2}} é constante, retiramos esse fator:
\int e^{u}\,\frac{du}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\int e^{u}\,du = \frac{1}{\sqrt{2}}\,e^{u} + C.

Passo 4

Voltando à variável x, usamos u = \sqrt{2}\,x:
\int e^{\sqrt{2}x}\,dx = \frac{1}{\sqrt{2}}\,e^{\sqrt{2}x} + C.

Passo 5

Verificação por derivação:
\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\,e^{\sqrt{2}x} + C\Bigr) = \tfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\sqrt{2}\,e^{\sqrt{2}x} = e^{\sqrt{2}x},
que é exatamente o integrando.

Resposta

\frac{1}{\sqrt{2}}\,e^{\sqrt{2}x} + C

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