Cálcule e verifique sua resposta por derivação.
\int \frac{x{5}+x+1}{x{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x^{5}+x+1}{x^{2}}\,dx
e depois verificar o resultado por derivação. O conteúdo usado será: propriedades de potências para simplificar a expressão e integração termo a termo.

Passo 2

Primeiro reescrevemos o integrando dividindo cada termo por x^2:
\frac{x^{5}+x+1}{x^{2}} = \frac{x^5}{x^2} + \frac{x}{x^2} + \frac{1}{x^2} = x^3 + x^{-1} + x^{-2}.

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
\int x^3\,dx = \frac{x^4}{4}, \quad \int x^{-1}\,dx = \ln\lvert x\rvert, \quad \int x^{-2}\,dx = \int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}.
Somando tudo e incluindo a constante de integração C, obtemos
\int \frac{x^{5}+x+1}{x^{2}}\,dx = \frac{x^4}{4} + \ln\lvert x\rvert - \frac{1}{x} + C.

Passo 4

Para verificar, derivamos o resultado:
\frac{d}{dx}\!\Bigl(\tfrac{x^4}{4} + \ln\lvert x\rvert - \tfrac{1}{x}\Bigr) = x^3 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = \frac{x^5 + x + 1}{x^2},
que é exatamente o integrando original.

Resposta

\frac{x^4}{4} + \ln\lvert x\rvert - \frac{1}{x} + C.

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