Cálcule e verifique sua resposta por derivação.
\int\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int\Bigl(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\Bigr)\,dx
O conteúdo é cálculo de antiderivadas, em que usamos duas regras principais:
  1. \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C.
  2. \displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1.

Passo 2

Separamos a integral em duas parcelas, pois a integral de uma soma é a soma das integrais:
\int\Bigl(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\Bigr)\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx \;+\;\int \frac{1}{x^{2}}\,dx.

Passo 3

Calculamos cada parcela:
Para \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx aplicamos a regra do logaritmo e obtemos
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert.
Para \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}}\,dx reescrevemos como \displaystyle \int x^{-2}\,dx e aplicamos a regra da potência com n=-2:
\int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}.

Passo 4

Somando os resultados e juntando as constantes num único C, chegamos a
\int\Bigl(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\Bigr)\,dx = \ln\lvert x\rvert - \frac{1}{x} + C.

Passo 5

Para verificar, derivamos a função candidata
F(x) = \ln\lvert x\rvert - \frac{1}{x}.
Temos
F'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(\ln\lvert x\rvert\bigr) \;-\;\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{1}{x}\Bigr) = \frac{1}{x} \;-\;\bigl(-\tfrac{1}{x^{2}}\bigr) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}},
que coincide com o integrando.

Resposta

\boxed{\ln\lvert x\rvert - \frac{1}{x} + C}

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