Cálcule e verifique sua resposta por derivação.
\int\left(e^{2 x}+e^{-x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int\bigl(e^{2x}+e^{-x}\bigr)\,dx
Aplicaremos a regra geral de integração de exponenciais, que diz que
\int e^{ax}\,dx = \frac{1}{a}\,e^{ax} + C.

Passo 2

Para o termo \int e^{2x}\,dx, usamos a=2, logo
\int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}\,e^{2x}.

Passo 3

Para o termo \int e^{-x}\,dx, usamos a=-1, logo
\int e^{-x}\,dx = \frac{1}{-1}\,e^{-x} = -\,e^{-x}.

Passo 4

Somando as antiderivadas e incluindo a constante de integração C, obtemos
F(x) = \frac{1}{2}\,e^{2x} \;-\; e^{-x} \;+\; C.

Passo 5

Verificação por derivação:
F'(x) = \frac{1}{2}\cdot2\,e^{2x} -(-1)\,e^{-x} = e^{2x} + e^{-x},
que é exatamente o integrando, confirmando a correção.

Resposta

\int\bigl(e^{2x}+e^{-x}\bigr)\,dx = \frac{1}{2}\,e^{2x} - e^{-x} + C.

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