Calcule o Vetor Campo Elétrico da Tensão V(r) gerado por uma carga pontual? Qual é a relação entre o vetor campo elétrico E e o potencial elétrico V(r) para uma carga pontual?

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é o potencial elétrico de uma carga pontual, que costuma ser
V(r) = 14pivarepsilon0,qr
e o que pedem é o vetor campo elétrico gerado por esse potencial. Isso é matéria de eletrostática: a relação entre potencial e campo elétrico é dada pelo operador gradiente. Vamos usar o fato de que, no caso de simetria esférica, fica mais fácil trabalhar com coordenadas esféricas e a regra do “gradiente de uma função que depende só de r”.

Passo 2

Teoria básica: o campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial, ou seja
E(r) = -nabla V(r),
O gradiente, em geral, mede como a função muda em cada direção (x, y, z). Mas aqui nabla V(r) = dVdr,r,, depende só de , a distância ao ponto de carga, então o gradiente simplifica para
onde é o vetor unitário que aponta radialmente para fora.

Passo 3

Agora efetivamente vamos derivar. Temos
V(r) = 14pivarepsilon0,qr Longrightarrow dVdr = 14pivarepsilon0,q ,ddrl(r^-1r) = -14pivarepsilon0,qr^2,

Passo 4

Substituindo em E(r) = -gl(dVdrgr),r = -l(-14pivarepsilon0qr^2r)r = 14pivarepsilon0,qr^2,r, :
Isso faz sentido fisicamente: para carga positiva, aponta pra fora, e a intensidade decai como .

Resposta

boxedE(r) = 14pivarepsilon0,qr^2,re E = -nabla V,

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