Calcule o vetor de coordenadas de \mathbf{v}, em relação a cada base ordenada S de V
V=\mathbb{R}^{3}, S=\left\{\left(\begin{array}{l}2 \\\\ 1 \\\\ 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-1 \\\\ 4 \\\\ 5\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}3 \\\\ -2 \\\\ 4\end{array}\right)\right\}, \mathbf{v}=\left(\begin{array}{l}4 \\\\ 4 \\\\ 5\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=\mathbb{R}^{3}, a base ordenada
S=\left\{\begin{pmatrix}2\\[2pt]1\\[2pt]3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1\\[2pt]4\\[2pt]5\end{pmatrix},\begin{pmatrix}3\\[2pt]-2\\[2pt]4\end{pmatrix}\right\}
e o vetor
\mathbf{v}=\begin{pmatrix}4\\[2pt]4\\[2pt]5\end{pmatrix}.
A pergunta é: qual é o vetor de coordenadas de \mathbf{v} em relação à base ordenada S? Ou seja, encontrar os escalares (coordenadas) que expressam \mathbf{v} como combinação linear dos vetores de S.]

Passo 2

Definição usada (explicando passo a passo): dizer que " \mathbf{v} em relação a S" significa encontrar escalares \(x_{1},x_{2},x_{3}) tais que
x_{1}\begin{pmatrix}2\\[2pt]1\\[2pt]3\end{pmatrix}+x_{2}\begin{pmatrix}-1\\[2pt]4\\[2pt]5\end{pmatrix}+x_{3}\begin{pmatrix}3\\[2pt]-2\\[2pt]4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\[2pt]4\\[2pt]5\end{pmatrix}.
Esses escalares \(x_{1},x_{2},x_{3}) são precisamente as coordenadas de \mathbf{v} na base S. Nosso trabalho é resolver para \(x_{1},x_{2},x_{3}).]

Passo 3

Escrevendo as equações componente a componente obtemos o sistema linear
\begin{cases} 2x_{1}-x_{2}+3x_{3}=4,\\[4pt] x_{1}+4x_{2}-2x_{3}=4,\\[4pt] 3x_{1}+5x_{2}+4x_{3}=5. \end{cases}
Vou resolver esse sistema por eliminação (método básico e direto para a prova).]

Passo 4

Montamos a matriz aumentada do sistema:
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 3 & 4\\[4pt] 1 & 4 & -2 & 4\\[4pt] 3 & 5 & 4 & 5 \end{array}\right].]

Passo 5

Para simplificar contas, troco a linha 1 pela linha 2 (assim o pivot inicial fica 1):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & -2 & 4\\[4pt] 2 & -1 & 3 & 4\\[4pt] 3 & 5 & 4 & 5 \end{array}\right].]

Passo 6

Elimino a coluna 1 abaixo do pivô 1.
Faço R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{1} e R_{3}\leftarrow R_{3}-3R_{1}. Calculando:
R_{2}:\;2-2\cdot1=0,\;-1-2\cdot4=-9,\;3-2\cdot(-2)=7,\;4-2\cdot4=-4.
R_{3}:\;3-3\cdot1=0,\;5-3\cdot4=-7,\;4-3\cdot(-2)=10,\;5-3\cdot4=-7.
A matriz vira
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & -2 & 4\\[4pt] 0 & -9 & 7 & -4\\[4pt] 0 & -7 & 10 & -7 \end{array}\right].]

Passo 7

Agora quero zerar o elemento -7 em R_{3,2} usando R_{2}. Como R_{2,2}=-9, o multiplicador é \dfrac{7}{9} (porque -7- \tfrac{7}{9}(-9)=0). Faço
R_{3}\leftarrow R_{3}-\frac{7}{9}R_{2}.
Calculemos cada entrada de R_{3}:
Entrada 2: -7-\frac{7}{9}(-9)=0 (confere).
Entrada 3: 10-\frac{7}{9}\cdot 7=10-\frac{49}{9}=\frac{90-49}{9}=\frac{41}{9}.
RHS: -7-\frac{7}{9}(-4)=-7+\frac{28}{9}=\frac{-63+28}{9}=-\frac{35}{9}.
A matriz agora é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & -2 & 4\\[4pt] 0 & -9 & 7 & -4\\[4pt] 0 & 0 & \dfrac{41}{9} & -\dfrac{35}{9} \end{array}\right].]

Passo 8

Da última linha obtemos diretamente x_{3}. A equação é
\frac{41}{9}x_{3}=-\frac{35}{9}.
Multiplicando ambos os lados por 9 fica \;41x_{3}=-35, logo
x_{3}=-\frac{35}{41}.

Passo 9

Agora voltamos à segunda linha para achar x_{2}. A linha 2 dá
-9x_{2}+7x_{3}=-4.
Substituindo x_{3}=-\dfrac{35}{41} obtemos
-9x_{2}+7\left(-\frac{35}{41}\right)=-4.
Calcule 7\cdot\left(-\dfrac{35}{41}\right)=-\dfrac{245}{41}. Assim
-9x_{2}-\frac{245}{41}=-4.
Passando o termo fracionário para o outro lado:
-9x_{2}=-4+\frac{245}{41}=-\frac{164}{41}+\frac{245}{41}=\frac{81}{41}.
Logo
x_{2}=\frac{81}{41}\cdot\left(-\frac{1}{9}\right)=-\frac{81}{369}=-\frac{9}{41}.
(daqui simplificamos 81/369 dividindo por 9).

Passo 10

Finalmente, uso a primeira linha para x_{1}. A primeira linha diz
x_{1}+4x_{2}-2x_{3}=4.
Substituindo x_{2}=-\dfrac{9}{41} e x_{3}=-\dfrac{35}{41}:
x_{1}+4\left(-\frac{9}{41}\right)-2\left(-\frac{35}{41}\right)=4.
Calcule os termos: 4\cdot\left(-\dfrac{9}{41}\right)=-\dfrac{36}{41} e -2\cdot\left(-\dfrac{35}{41}\right)=\dfrac{70}{41}. Soma desses dois: -\dfrac{36}{41}+\dfrac{70}{41}=\dfrac{34}{41}. Então
x_{1}+\frac{34}{41}=4.
Escrevendo 4=\dfrac{164}{41} temos
x_{1}=\frac{164}{41}-\frac{34}{41}=\frac{130}{41}.

Passo 11

Concluímos que as coordenadas procuradas são
x_{1}=\frac{130}{41},\qquad x_{2}=-\frac{9}{41},\qquad x_{3}=-\frac{35}{41}.
Portanto o vetor de coordenadas de \mathbf{v} em relação à base S é o vetor coluna formado por essas frações.

Resposta

\begin{pmatrix}\dfrac{130}{41}\\[6pt]-\dfrac{9}{41}\\[6pt]-\dfrac{35}{41}\end{pmatrix}]

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