1. Calcule o vetor tangente à trajetória de G(t)=(cos (t), 3 t, 2 sen(2 t)) no ponto G(0).

Passo 1

O enunciado dá a curva
G(t) = l(cos(t),,3t,,2,sen(2t)r)
e pede o vetor tangente em t=0. Pela teoria de curvas em R^3, o vetor tangente é dado por
G'(t), a derivada de G em relação a t, avaliada no ponto de interesse.

Passo 2

Derivando componente a componente, usamos:
ddtcos(t) = -sen(t)
ddt(3t) = 3
ddtl[2,sen(2t)r] = 2cdotddtsen(2t) = 2cdotl(2cos(2t)r)=4cos(2t).
Logo,
G'(t)=l(-sen(t),,3,,4cos(2t)r)

Passo 3

Agora avaliamos em t=0. Sabemos que sen(0)=0 e cos(0)=1, então
G'(0)=l(-sen(0),,3,,4cos(0)r)=(0,,3,,4)

Resposta

O vetor tangente à trajetória em G(0) é (0,3,4).

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