Para as funções abaixo, calcule fx x, fx y, fy y e fy x e verifique se é válida a conclusão do Teorema de Schwarz.
z=x sen ycos (x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado dá a função
z = xsin ycosl(x^2+y^2r)
e pede as derivadas parciais de segunda ordem ,fxx,,fxy,,fyy,,fyx e verificar se vale o Teorema de Schwarz (isto é, se fxy=fyx). Vamos usar as regras do produto e da cadeia e definir
U = x^2 + y^2, sec U = 1cos U, tan U = sin Ucos U

Passo 2

Calcular fx usando z = xsin ycdotsec U. Pela regra do produto e cadeia:
fx = partialpartial x(xsin y),sec U + xsin y;partialpartial x(sec U)
Como partialpartial x(xsin y)=sin y e partialpartial x(sec U)=sec Utan Ucdot2x, vem
fx = sin y,sec U + xsin ycdotsec Utan Ucdot2x = sin y,sec U + 2x^2sin y,sec U,tan U

Passo 3

Calcular fy de modo análogo. Agora
fy = partialpartial y(xsin y),sec U + xsin y;partialpartial y(sec U)
Temos partialy(xsin y)=xcos y e partialy(sec U)=sec Utan Ucdot2y, logo
fy = xcos y,sec U + xsin ycdotsec Utan Ucdot2y = xsec Ucos y + 2xysin y,sec U,tan U

Passo 4

Para fxx derivamos fx=sin y,sec U +2x^2sin y,sec U,tan U em x. O resultado, agrupando e fatorando sin y,sec U, é
fxx = sin y,sec Ul(6xtan U +4x^3l(tan^2U+sec^2Ur)r)

Passo 5

Para fyy derivamos
fy = xsec Ucos y +2xysin y,sec U,tan U
em y. Após aplicar produto e cadeia e fatorar x,sec U, obtemos
fyy = x,sec Ul(-sin y +2sin ytan U +4ycos ytan U +4y^2sin yl(tan^2U+sec^2Ur)r)

Passo 6

Para fxy derivamos fx em y. Sai
fxy = sec Ul(cos y +2ysin ytan U +2x^2cos ytan U +4x^2ysin yl(tan^2U+sec^2Ur)r)

Passo 7

Para fyx derivamos fy em x. Fazendo as contas, chega-se exatamente à mesma expressão de fxy, ou seja,
fyx = sec Ul(cos y +2ysin ytan U +2x^2cos ytan U +4x^2ysin yl(tan^2U+sec^2Ur)r)

Passo 8

Como encontramos
fxy=fyx,
o Teorema de Schwarz vale para esta função.

Resposta

fxx = sin y,sec Ul(6xtan U +4x^3(tan^2U+sec^2U)r)
fyy = x,sec Ul(-sin y +2sin ytan U +4ycos ytan U +4y^2sin y(tan^2U+sec^2U)r)
fxy = fyx = sec Ul(cos y +2ysin ytan U +2x^2cos ytan U +4x^2ysin y(tan^2U+sec^2U)r)
Portanto, fxy=fyx e o Teorema de Schwarz é válido.

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