Para as funções abaixo, calcule
e
e verifique se é válida a conclusão do Teorema de Schwarz.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede as derivadas parciais de segunda ordem
e verificar se vale o Teorema de Schwarz (isto é, se
). Vamos usar as regras do produto e da cadeia e definir
Passo 2
Calcular
usando
. Pela regra do produto e cadeia:
Como
e
, vem
Passo 3
Calcular
de modo análogo. Agora
Temos
e
, logo
Passo 4
Para
derivamos
em
. O resultado, agrupando e fatorando
, é
Passo 5
Para
derivamos
em
. Após aplicar produto e cadeia e fatorar
, obtemos
Passo 6
Para
derivamos
em
. Sai
Passo 7
Para
derivamos
em
. Fazendo as contas, chega-se exatamente à mesma expressão de
, ou seja,
Passo 8
Como encontramos
o Teorema de Schwarz vale para esta função.
Resposta
Portanto,
e o Teorema de Schwarz é válido.