Calcule o volume de cada sólido descrito abaixo
A base é a região limitada por y=2-x^{2} e pelo eixo. As seções transversais perpendiculares ao eixo y são os de círculo.

Passo 1

O enunciado pede o volume de um sólido cujas bases ficam na região do plano xy limitada pela parábola y=2-x^{2} e pelo eixo x (isto é, y\ge0 e x^{2}\le2\!-\!y), e cujas seções transversais, feitas por planos perpendiculares ao eixo y, são círculos. Vamos usar o método de seções transversais e integrar em y.

Passo 2

Para um valor fixo de y com 0\le y\le2, a interseção da região com a reta horizontal y=\text{constante} é o intervalo de x entre as raízes de
y=2-x^{2} \quad\Longrightarrow\quad x = \pm \sqrt{2-y}.

Passo 3

Essa interseção tem comprimento
d(y)=\sqrt{2-y}-\bigl(-\sqrt{2-y}\bigr)=2\sqrt{2-y},
que serve de diâmetro do círculo na seção a y. Logo, o raio é
r(y)=\frac{d(y)}{2}=\sqrt{2-y}.

Passo 4

A área da seção circular em nível y é
A(y)=\pi\bigl[r(y)\bigr]^{2} =\pi\bigl(\sqrt{2-y}\bigr)^{2} =\pi\,(2-y).

Passo 5

O volume do sólido é a integral das áreas das seções de y=0 até y=2:
V=\int_{y=0}^{2}A(y)\,dy =\int_{0}^{2}\pi\,(2-y)\,dy.

Passo 6

Calculando a integral,
V =\pi\int_{0}^{2}(2-y)\,dy =\pi\Bigl[2y-\tfrac{y^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{2} =\pi\bigl(4-2\bigr) =2\pi.

Resposta

O volume do sólido é 2\pi.

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