Use o método dos coeficientes a determinar para calcular a solução geral da equação
Passo 1
O enunciado pede para resolver, pelo método dos coeficientes a determinar, a equação diferencial linear de ordem três com coeficientes constantes
O que vamos fazer:
- Encontrar a solução geral da equação homogênea associada, usando a equação característica.
- Propor uma solução particular do tipo
e verificar se há ressonância. - Calcular as derivadas de
, substituir na equação e determinar e . - Montar a solução geral
.
Passo 2
A parte homogênea é
A equação característica é
Fatorando por agrupamento:
Logo as raízes são
e
. Portanto a solução homogênea é
Passo 3
Para a parte não homogênea
usamos o ansatz
Verificamos se
anula a característica; um cálculo rápido mostra que não se anula, então não há ressonância e o ansatz está correto.
Passo 4
Calculamos sucessivamente as derivadas de
. Se definirmos
, então
Fazendo as contas de
e reorganizando em termos de
e
, chega-se a
Passo 5
Impondo
Daí
e
. Logo
Passo 6
A solução geral da equação dada é a soma da homogênea com a particular: