Use o método dos coeficientes a determinar para calcular a solução geral da equação
y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}+y^{\prime}-y=e^{-t} \operatorname{sen} t .

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método dos coeficientes a determinar, a equação diferencial linear de ordem três com coeficientes constantes
y''' - y'' + y' - y = e^{-t}\operatorname{sen} t.
O que vamos fazer:
  1. Encontrar a solução geral da equação homogênea associada, usando a equação característica.
  2. Propor uma solução particular do tipo y_p=e^{at}(A\cos bt + B\operatorname{sen} bt) e verificar se há ressonância.
  3. Calcular as derivadas de y_p, substituir na equação e determinar A e B.
  4. Montar a solução geral y=y_h+y_p.

Passo 2

A parte homogênea é
y''' - y'' + y' - y = 0.
A equação característica é
r^3 - r^2 + r - 1 = 0.
Fatorando por agrupamento:
r^2(r - 1) +1\,(r - 1) = (r - 1)(r^2 + 1) = 0.
Logo as raízes são r=1 e r=\pm i. Portanto a solução homogênea é
y_h = C_1 e^{t} + C_2\cos t + C_3\operatorname{sen} t.

Passo 3

Para a parte não homogênea e^{-t}\operatorname{sen} t usamos o ansatz
y_p = e^{-t}\bigl(A\cos t + B\operatorname{sen} t\bigr).
Verificamos se r=-1\pm i anula a característica; um cálculo rápido mostra que não se anula, então não há ressonância e o ansatz está correto.

Passo 4

Calculamos sucessivamente as derivadas de y_p. Se definirmos u(t)=A\cos t+B\operatorname{sen} t, então
y_p = e^{-t}u,\qquad y_p' = e^{-t}(u'-u),\qquad y_p'' = e^{-t}(u''-2u'+u),\quad y_p'''=e^{-t}(u'''-3u''+3u'-u).
Fazendo as contas de u',u'',u''' e reorganizando em termos de \cos t e \operatorname{sen} t, chega-se a
y_p'''-y_p''+y_p'-y_p = e^{-t}\bigl(5B\cos t -5A\operatorname{sen} t\bigr).

Passo 5

Impondo
e^{-t}\bigl(5B\cos t -5A\operatorname{sen} t\bigr) = e^{-t}\operatorname{sen} t\nequacionamos os coeficientes de \cos t e \operatorname{sen} t:
5B = 0,\qquad -5A = 1.
Daí B=0 e A = -\tfrac15. Logo
y_p = e^{-t}\Bigl(-\tfrac15\cos t\Bigr) = -\tfrac15\,e^{-t}\cos t.

Passo 6

A solução geral da equação dada é a soma da homogênea com a particular:
y(t) = C_1 e^{t} + C_2\cos t + C_3\operatorname{sen} t \;-\;\tfrac15\,e^{-t}\cos t.

Resposta

y(t) = C_1 e^{t} + C_2\cos t + C_3\operatorname{sen} t - \tfrac15\,e^{-t}\cos t.

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