Determine um vetor de comprimento 10 perpendicular aos vetores \langle 1,0,1\rangle e \langle 0,2,3\rangle

Passo 1

O enunciado pede um vetor de comprimento 10 perpendicular a \langle 1,0,1\rangle e \langle 0,2,3\rangle. Para isso vamos usar o produto vetorial para achar uma direção perpendicular e depois escalar para norma 10.

Passo 2

Definindo u=\langle 1,0,1\rangle e w=\langle 0,2,3\rangle, o vetor perpendicular é dado por v = u \times w.

Passo 3

O cálculo do produto vetorial é
v \;=\; \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 2 & 3 \end{vmatrix} = (-2)\,\mathbf{i}\;-\;(3)\,\mathbf{j}\;+\;(2)\,\mathbf{k} = \langle -2,-3,2\rangle.

Passo 4

Agora calculamos a norma de v:
\lVert v\rVert = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 9 + 4} = \sqrt{17}.

Passo 5

Para obter um vetor de comprimento 10, escalamos v pela razão \tfrac{10}{\sqrt{17}}. Assim
v_{10} = \frac{10}{\sqrt{17}}\,\langle -2,-3,2\rangle = \Bigl\langle -\frac{20}{\sqrt{17}},\,-\frac{30}{\sqrt{17}},\,\frac{20}{\sqrt{17}}\Bigr\rangle.

Resposta

\displaystyle \Bigl\langle -\frac{20}{\sqrt{17}},\,-\frac{30}{\sqrt{17}},\,\frac{20}{\sqrt{17}}\Bigr\rangle

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