A série de Laurent da função f(z)=\frac{1}{z(z+1)} centrada em z=0, válida para 0<|z|<1, é:
Escolha uma opção:
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} z^{n-1}
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} z^{-n}
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} z^{n}
\sum_{n=1}^{\infty} z^{-n}

Passo 1

O enunciado pede a série de Laurent de
f(z)=\frac{1}{z(z+1)}
centrada em z=0 e válida para 0<|z|<1. Vamos usar frações parciais e em seguida expandir em séries geométricas.

Passo 2

Decompomos em frações parciais:
\frac{1}{z(z+1)}=\frac{A}{z}+\frac{B}{z+1}.
Temos
1 = A(z+1)+Bz = (A+B)z + A,
logo A=1 e A+B=0 implica B=-1. Assim
f(z)=\frac{1}{z}-\frac{1}{z+1}.

Passo 3

Para |z|<1 podemos escrever
\frac{1}{z+1}=\frac{1}{1+z}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}z^{n}.
Logo
-\frac{1}{z+1}=-\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}z^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}z^{n}.

Passo 4

Somando as parcelas,
f(z)=\frac{1}{z}+\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}z^{n}.
Reescrevendo em um único somatório, note que
\frac{1}{z}+\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}z^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}z^{\,n-1}.

Resposta

\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}z^{\,n-1}.

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