1. Um cilindro reto tem altura igual ao raio da base e a sua área lateral mede 32 \pi \mathrm{~cm}^{2}. Calcular o seu volume.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só. Informações dadas:
  • A área lateral do cilindro vale \,32\pi\\ \mathrm{cm}^2.
  • A altura do cilindro é igual ao raio da base; isto é, se chamarmos o raio de \,r, então a altura \,h satisfaz \,h=r.
O que se pede:
  • Calcular o volume do cilindro, em \mathrm{cm}^3.

Passo 2

Vamos escrever a fórmula da área lateral de um cilindro reto e explicar o que cada símbolo significa. A área lateral (somente a superfície curva, sem as bases) é dada por:
A_{\text{lat}} = \text{perímetro da base} \times \text{altura}.í
Para uma base circular de raio \,r, o perímetro é \,2\pi r. Se a altura for \,h, então
A_{\text{lat}} = 2\pi r \cdot h.
Aqui \,A_{\text{lat}} é a área lateral, \,r é o raio da base e \,h é a altura.

Passo 3

Como o enunciado diz que a altura é igual ao raio, substuímos \,h=r na fórmula da área lateral:
A_{\text{lat}} = 2\pi r \cdot r = 2\pi r^2.
Isso significa que, nesse cilindro especial, a área lateral depende só de \,r através de \,2\pi r^2.

Passo 4

Agora igualamos essa expressão ao valor dado no enunciado, \,32\pi, e resolvemos para \,r:
2\pi r^2 = 32\pi.

Passo 5

Dividimos ambos os lados por \,2\pi (explicando: é permitido porque \,2\pi\neq 0) para isolar \,r^2:
r^2 = \frac{32\pi}{2\pi} = \frac{32}{2} = 16.

Passo 6

Tomamos a raiz quadrada positiva (raio é comprimento, logo não pode ser negativo):
r = \sqrt{16} = 4\\ \mathrm{cm}.
Também temos \,h=r, então
h = 4\\ \mathrm{cm}.

Passo 7

Agora escrevemos a fórmula do volume de um cilindro e explicamos os símbolos. O volume é a área da base multiplicada pela altura:
V = \text{área da base} \times h.á
A área da base (círculo de raio \,r) é \,\pi r^2. Portanto
V = \pi r^2 \cdot h.

Passo 8

Como \,h=r, substituímos novamente para expressar o volume só em função de \,r:
V = \pi r^2 \cdot r = \pi r^3.

Passo 9

Substituímos \,r=4\\ \mathrm{cm} em \,V=\pi r^3:
V = \pi \cdot 4^3 = \pi \cdot 64 = 64\pi\\ \mathrm{cm}^3.

Resposta

64\pi\\ \mathrm{cm}^3

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