- Um cilindro reto tem altura igual ao raio da base e a sua área lateral mede
. Calcular o seu volume.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só. Informações dadas:
- A área lateral do cilindro vale
. - A altura do cilindro é igual ao raio da base; isto é, se chamarmos o raio de
, então a altura satisfaz .
O que se pede:
- Calcular o volume do cilindro, em
.
Passo 2
Vamos escrever a fórmula da área lateral de um cilindro reto e explicar o que cada símbolo significa. A área lateral (somente a superfície curva, sem as bases) é dada por:
Para uma base circular de raio
, o perímetro é
. Se a altura for
, então
Aqui
é a área lateral,
é o raio da base e
é a altura.
Passo 3
Como o enunciado diz que a altura é igual ao raio, substuímos
na fórmula da área lateral:
Isso significa que, nesse cilindro especial, a área lateral depende só de
através de
.
Passo 4
Agora igualamos essa expressão ao valor dado no enunciado,
, e resolvemos para
:
Passo 5
Dividimos ambos os lados por
(explicando: é permitido porque
) para isolar
:
Passo 6
Tomamos a raiz quadrada positiva (raio é comprimento, logo não pode ser negativo):
Também temos
, então
Passo 7
Agora escrevemos a fórmula do volume de um cilindro e explicamos os símbolos. O volume é a área da base multiplicada pela altura:
A área da base (círculo de raio
) é
. Portanto
Passo 8
Como
, substituímos novamente para expressar o volume só em função de
:
Passo 9
Substituímos
em
: