Calcule o volume do conjunto dado:
(x, y, z) in R^3 0 <= x <= 1, x^2+z^2 <= y <= 2,0 <= z <= 1

Passo 1

O enunciado pede o volume do conjunto
(x,y,z)inR^3 mid 0<= x<=1,;0<= z<=1,;x^2+z^2<= y<=2.
O que vamos usar é que o volume de uma região R em R^3 é dado por
V=integral triplaRdV,
e aqui escolhemos a ordem de integração y, depois z, depois x.

Passo 2

Para cada par (x,z) com 0<= x<=1 e 0<= z<=1, a coordenada y varia de y=x^2+z^2 até y=2. Assim
V=integralx=0^1integralz=0^1integraly=x^2+z^2^2d y,d z,d x =integral0^1integral0^1l[2-(x^2+z^2)r],d z,d x

Passo 3

Separe a integral em três partes usando linearidade:
integral0^1integral0^1l[2-(x^2+z^2)r]d z,d x =2integral0^1integral0^1d z,d x -integral0^1integral0^1x^2,d z,d x -integral0^1integral0^1z^2,d z,d x

Passo 4

Calcule cada termo:
2integral0^1!integral0^1d z,d x =2cdot1cdot1=2,
integral0^1!integral0^1x^2,d z,d x =l(integral0^1x^2,d xr)l(integral0^1d zr) =tfrac13cdot1=tfrac13,
integral0^1!integral0^1z^2,d z,d x =l(integral0^1z^2,d zr)l(integral0^1d xr) =tfrac13cdot1=tfrac13

Passo 5

Somando:
V=2-tfrac13-tfrac13=2-tfrac23=tfrac43

Resposta

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