5- Qual das funções abaixo apresenta convergência quadrática? Aplique o teorema: O método de Newton apresenta convergência quadrática, se
, onde
é a raiz exata da equação
.
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Passo 1
O enunciado pede para identificar, entre três equações não-lineares, quais geram convergência quadrática quando aplicamos o método de Newton. O conteúdo aqui é o critério de convergência quadrática do método de Newton: basta verificar se a derivada da função na raiz exata é diferente de zero.
Passo 2
O teorema diz que, sob hipóteses usuais de suavidade, o método de Newton converge quadraticamente para a raiz
de
se
Logo, em cada caso precisamos (i) encontrar a(s) raiz(es)
e (ii) avaliar
.
Passo 3
Função (a):
A raiz exata é
porque
.
A derivada é
A derivada é
logo
Como
, não há convergência quadrática.
Passo 4
Função (b):
A raiz
satisfaz
, e necessariamente
.
A derivada é
A derivada é
logo em
temos
Aqui
, portanto o método de Newton terá convergência quadrática.
Passo 5
Função (c):
A raiz exata é
.
A derivada é
A derivada é
logo
De novo
, não há convergência quadrática.
Resposta
A única função que apresenta convergência quadrática pelo critério
é a alternativa (b):
.