5- Qual das funções abaixo apresenta convergência quadrática? Aplique o teorema: O método de Newton apresenta convergência quadrática, se f^prime(r) neq 0, onde r é a raiz exata da equação f(x)=0.
a) x-sen(x)=0
b) ln (x)+x-4=0
c) 4 x^3=0

Passo 1

O enunciado pede para identificar, entre três equações não-lineares, quais geram convergência quadrática quando aplicamos o método de Newton. O conteúdo aqui é o critério de convergência quadrática do método de Newton: basta verificar se a derivada da função na raiz exata é diferente de zero.

Passo 2

O teorema diz que, sob hipóteses usuais de suavidade, o método de Newton converge quadraticamente para a raiz r de f(x)=0 se
f'(r)neq 0
Logo, em cada caso precisamos (i) encontrar a(s) raiz(es) r e (ii) avaliar f'(r).

Passo 3

Função (a):
f(x)=x-sen(x)=0
A raiz exata é r=0 porque sen(0)=0.
A derivada é
f'(x)=1-cos(x),
logo
f'(0)=1-cos(0)=1-1=0
Como f'(r)=0, não há convergência quadrática.

Passo 4

Função (b):
f(x)=ln(x)+x-4=0
A raiz r satisfaz ln(r)+r-4=0, e necessariamente r>0.
A derivada é
f'(x)=1x+1,
logo em r>0 temos
f'(r)=1r+1>0neq 0
Aqui f'(r)neq 0, portanto o método de Newton terá convergência quadrática.

Passo 5

Função (c):
f(x)=4x^3=0
A raiz exata é r=0.
A derivada é
f'(x)=12x^2,
logo
f'(0)=12cdot 0^2=0
De novo f'(r)=0, não há convergência quadrática.

Resposta

A única função que apresenta convergência quadrática pelo critério f'(r)neq 0 é a alternativa (b):
ln(x)+x-4=0.

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