Considere a curva
de classe
. Discuta a afirmação: não existe uma função
de classe
no plano, de modo que a derivada total de
valha
Passo 1
O enunciado pede uma função
de classe
tal que, para uma curva
de classe
, valha
Pelo Teorema da Derivada de Função Composta (chain rule), isso exigiria, para todo
na imagem de
,
Passo 2
Como
é
, seus segundos derivados mistos devem coincidir:
Vamos calcular cada um usando as fórmulas acima.
Passo 3
Da expressão
obtemos
Já de
vem
Passo 4
Para existir
de classe
é preciso
em toda vizinhança dos pontos
.
Isso só acontece se a curva ficar contida no lugar geométrico definido por
Isso só acontece se a curva
Como em geral a curva dada não satisfaz essa igualdade para todo
, não há como achar
que reproduza o integrando proposto via cadeia.
Resposta
A afirmação está correta: em geral não existe função
tal que
,
pois a condição de igualdade dos derivadas cruzadas falha, exceto em curvas muito especiais que satisfaçam
.
pois a condição de igualdade dos derivadas cruzadas falha, exceto em curvas muito especiais que satisfaçam