(2 pts) Considere a curva alpha(t)=x(t) i+y(t) j de classe C^1. Discuta a afirmação: não existe uma função f de classe C^2 no plano, de modo que a derivada total de f(x(t), y(t)) valha
d fd t=x cos (x y) dotx(t)+e^x y doty(t)

Passo 1

O enunciado pede uma função fcolonR^2toR de classe C^2 tal que, para uma curva vecalpha(t)=(x(t),y(t)) de classe C^1, valha
ddtfl(x(t),y(t)r) = xcosl(xyr),dot x(t)+e^xy,dot y(t)
Pelo Teorema da Derivada de Função Composta (chain rule), isso exigiria, para todo (x,y) na imagem de alpha,
fx(x,y)=xcos(xy), fy(x,y)=e^xy

Passo 2

Como f é C^2, seus segundos derivados mistos devem coincidir:
fxy(x,y)=fyx(x,y)
Vamos calcular cada um usando as fórmulas acima.

Passo 3

Da expressão fx(x,y)=xcos(xy) obtemos
fxy(x,y) =partialpartial yl[xcos(xy)r] =xl[-sin(xy)r]cdotpartialpartial y(xy) =-x^2sin(xy)
Já de fy(x,y)=e^xy vem
fyx(x,y) =partialpartial xl[e^xyr] =e^xy,partialpartial x(xy) =y,e^xy

Passo 4

Para existir f de classe C^2 é preciso
fxy(x,y)=fyx(x,y) Longrightarrow -,x^2sin(xy)=y,e^xy,
em toda vizinhança dos pontos l(x(t),y(t)r).
Isso só acontece se a curva alpha ficar contida no lugar geométrico definido por
-,x^2sin(xy)=y,e^xy
Como em geral a curva dada não satisfaz essa igualdade para todo t, não há como achar fin C^2(R^2) que reproduza o integrando proposto via cadeia.

Resposta

A afirmação está correta: em geral não existe função fin C^2(R^2) tal que
tfracddtf(x(t),y(t))=xcos(xy),dot x+e^xy,dot y,
pois a condição de igualdade dos derivadas cruzadas falha, exceto em curvas muito especiais que satisfaçam
-x^2sin(xy)=y,e^xy.

Exercícios relacionados