Calcule o volume do conjunto A dado.
(f) A=(x, y, z) in R^3: x >= 0, x <= y <= 1 e 0 <= z <= e^y^2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do conjunto A=(x,y,z)inR^3: x>=0,;x<= y<=1,;0<= z<= e^y^2. O conteúdo é cálculo de volume via integrais triplas e vamos precisar determinar limites e avaliar a integral iterada

Passo 2

Analisando os limites de integração: para cada y em [0,1], x varia de 0 até y, e para cada ponto (x,y), z varia de 0 até e^y^2.
Escrevendo a integral tripla correspondente:
integraly=0^1integralx=0^yintegralz=0^e^y^2dz,dx,dy

Passo 3

Integrando em z primeiro, como integral0^e^y^2dz=e^y^2, a integral reduz para dupla em x,y. Integrando em x, como integral0^y e^y^2dx=y e^y^2, o volume passa a ser integral0^1 y e^y^2dy

Passo 4

Para calcular integral0^1 y e^y^2dy, use a substituição t=y^2, dt=2y,dy, levando a tfrac12integral0^1 e^t dt=tfrace-12

Resposta

tfrace-12

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