Exercs. 1-6: Use o método do Exemplo 1 para achar (a) S1, S2 e S3; (b) Sn; © a soma da série, se for convergente.
sumn=1^infty ln nn+1

Passo 1

A questão pede para usar o método do exemplo 1 para estudar a série sumn=1^inftylnnn+1. O conteúdo aqui é série numérica e propriedades de logaritmos, e vamos precisar usar que a soma dos logaritmos vira o logaritmo do produto (propriedade de logaritmo).

Passo 2

Vamos calcular os três primeiros somatórios parciais aplicando a propriedade ln a + ln b = ln(ab):
S1 = ln12,
S2 = ln12 + ln23 = lnl(12cdot23r) = ln13,
S3 = ln13 + ln34 = lnl(13cdot34r) = ln14

Passo 3

Agora a gente generaliza para Sn. Observando o padrão das frações sendo canceladas, temos:
Sn = sumk=1^n lnkk+1 = lnl(12cdot23cdotdotscdotnn+1r) = ln1n+1 = -ln(n+1)

Passo 4

Para decidir a convergência, olhamos o limite de Sn quando ntoinfty:
limntoinfty Sn = limntoinfty -ln(n+1) = -infty
Como o somatório parcial vai a -infty, a série diverge (não converge para um valor finito).

Resposta

S1=lntfrac12,;S2=lntfrac13,;S3=lntfrac14; Sn=-ln(n+1); a série diverge, logo não tem soma finita.

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