Exercs. 1-6: Use o método do Exemplo 1 para achar (a)
e
; (b)
; © a soma da série, se for convergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre séries infinitas! A gente precisa encontrar os primeiros três somatórios (S₁, S₂ e S₃), a soma geral Sₙ e, se possível, a soma total da série. Para isso, vamos lidar com uma série onde cada termo é dado por:
Vamos precisar entender como somar os primeiros termos e encontrar uma expressão geral para Sₙ.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular S₁, que é simplesmente o primeiro termo da série quando n = 1. Substituindo na fórmula:
Passo 3
Agora, vamos achar S₂, que é a soma dos dois primeiros termos (n = 1 e n = 2).
Para n = 2:
Então,
Passo 4
Vamos encontrar S₃, somando o terceiro termo (n = 3) aos anteriores.
Para n = 3:
Então,
Passo 5
Agora, vamos generalizar para encontrar Sₙ, a soma dos n primeiros termos da série. Observando o denominador, temos uma expressão quadrática:
Podemos tentar fatorar isso ou usar a decomposição em frações parciais para simplificar a soma. Porém, para simplificar, notamos que o denominador pode ser reescrito como:
Então, podemos decompôr a fração:
Resolvendo para A e B, encontramos que A = 1/3 e B = -1/3. Portanto,
A soma dos n primeiros termos Sₙ então fica:
Isso pode ser simplificado observando que a série telescopá:
Passo 6
Por fim, vamos ver se a série converge e, se sim, qual é a soma total. Para isso, vamos analisar o limite de Sₙ quando n tende ao infinito:
Então, a série converge e a soma é 1/6.
Resposta
(a)
,
,
(b)
© A soma da série converge para
(b)
© A soma da série converge para