Exercs. 1-6: Use o método do Exemplo 1 para achar (a) S1, S2 e S3; (b) Sn; © a soma da série, se for convergente.
sumn=1^infty -19 n^2+3 n-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre séries infinitas! A gente precisa encontrar os primeiros três somatórios (S₁, S₂ e S₃), a soma geral Sₙ e, se possível, a soma total da série. Para isso, vamos lidar com uma série onde cada termo é dado por:
sumn=1^infty -19n^2 + 3n - 2
Vamos precisar entender como somar os primeiros termos e encontrar uma expressão geral para Sₙ.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular S₁, que é simplesmente o primeiro termo da série quando n = 1. Substituindo na fórmula:
S1 = -19(1)^2 + 3(1) - 2 = -19 + 3 - 2 = -110 = -0,1

Passo 3

Agora, vamos achar S₂, que é a soma dos dois primeiros termos (n = 1 e n = 2).
Para n = 2:
-19(2)^2 + 3(2) - 2 = -136 + 6 - 2 = -140 = -0,025
Então,
S2 = S1 + termo para n=2 = -0,1 + (-0,025) = -0,125

Passo 4

Vamos encontrar S₃, somando o terceiro termo (n = 3) aos anteriores.
Para n = 3:
-19(3)^2 + 3(3) - 2 = -181 + 9 - 2 = -188 approx -0,01136
Então,
S3 = S2 + termo para n=3 = -0,125 + (-0,01136) approx -0,13636

Passo 5

Agora, vamos generalizar para encontrar Sₙ, a soma dos n primeiros termos da série. Observando o denominador, temos uma expressão quadrática:
9n^2 + 3n - 2
Podemos tentar fatorar isso ou usar a decomposição em frações parciais para simplificar a soma. Porém, para simplificar, notamos que o denominador pode ser reescrito como:
9n^2 + 3n - 2 = (3n - 1)(3n + 2)
Então, podemos decompôr a fração:
-1(3n - 1)(3n + 2) = A3n - 1 + B3n + 2
Resolvendo para A e B, encontramos que A = 1/3 e B = -1/3. Portanto,
-19n^2 + 3n - 2 = 13(13n - 1 - 13n + 2)
A soma dos n primeiros termos Sₙ então fica:
Sn = 13 ( sumk=1^n 13k - 1 - sumk=1^n 13k + 2 )
Isso pode ser simplificado observando que a série telescopá:
Sn = 13 ( 12 - 13n + 2 ) = 16 - 13(3n + 2)

Passo 6

Por fim, vamos ver se a série converge e, se sim, qual é a soma total. Para isso, vamos analisar o limite de Sₙ quando n tende ao infinito:
limn to infty Sn = limn to infty ( 16 - 13(3n + 2) ) = 16 - 0 = 16
Então, a série converge e a soma é 1/6.

Resposta

(a) , ,
(b)
© A soma da série converge para

Exercícios relacionados