Calcule o volume do conjunto dado
(a)
e
.
(b)
e
.
(c)
e
.
(d)
e
.
(e)
e
.
(f)
e
.
(g)
e
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
Passo 1
O enunciado pede o volume de sete regiões em
definidas por inequações lineares e quadráticas. O conteúdo é integração múltipla: projetar cada sólido numa região do plano (normalmente o plano
), escrever a integral tríplice com os limites apropriados e calcular em ordem conveniente (por exemplo
ou
). Em (c) basta notar que a altura em
é constante
sobre uma elipse; em (e) reconhecemos o sólido de Steinmetz (interseção de dois cilindros ortogonais).
Passo 2
Para (a) a base
no plano
é o triângulo
e, para cada
,
.
Logo
Logo
Calculando
Passo 3
Para (b) o domínio
é
e
.
Por simetria,
Passo 4
Em (c) a base é a elipse
e, para cada
,
. A espessura em
é sempre
, então
Passo 5
Para (d) temos
e
. Logo
Com
,
, obtemos
Passo 6
Em (e) as desigualdades são
e
. Para cada
,
e
.
A seção reta em é um quadrado de lado
, área
.
A seção reta em
Passo 7
Para (f) precisamos
,
. Há região só se
, ou seja
, e então
.
Passo 8
Em (g) temos
,
,
. Para não vazio é necessário
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)