Calcule o volume do conjunto dado
(a) \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x \geq 0, y \geq 0, x+y \leq 1\right. e \left.0 \leq z \leq x^{2}+y^{2}\right\}.
(b) \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 0 \leq y \leq 1-x^{2}\right. e \left.0 \leq z \leq 1-x^{2}\right\}.
(c) \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+4 y^{2} \leq 4\right. e \left.x+y \leq z \leq x+y+1\right\}.
(d) \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x \geq 0, x \leq y \leq 1\right. e \left.0 \leq z \leq e^{y^{2}}\right\}.
(e) \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2} \leq a^{2}\right. e \left.y^{2}+z^{2} \leq a^{2}\right\},(a>0).
(f) \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x \leq z \leq 1-y^{2}\right. e \left.x \geq 0\right\}.
(g) \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 4 x+2 y \leq z \leq 3 x+y+1, x \geq 0\right. e \left.y \geq 0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede o volume de sete regiões em \mathbb{R}^3 definidas por inequações lineares e quadráticas. O conteúdo é integração múltipla: projetar cada sólido numa região do plano (normalmente o plano xy), escrever a integral tríplice com os limites apropriados e calcular em ordem conveniente (por exemplo dz\,dx\,dy ou dx\,dy). Em (c) basta notar que a altura em z é constante 1 sobre uma elipse; em (e) reconhecemos o sólido de Steinmetz (interseção de dois cilindros ortogonais).

Passo 2

Para (a) a base D no plano xy é o triângulo \{x\ge0,\;y\ge0,\;x+y\le1\} e, para cada (x,y), 0\le z\le x^2+y^2.
Logo
V_a=\iint_{D}(x^2+y^2)\,dx\,dy =\int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{1-y}(x^2+y^2)\,dx\,dy.
Calculando
\int_{0}^{1-y}(x^2+y^2)\,dx =\frac{(1-y)^3}{3}+y^2(1-y),
V_a=\int_{0}^{1}\Bigl(\frac{(1-y)^3}{3}+y^2(1-y)\Bigr)dy =\frac{1}{12}+\frac{1}{12} =\frac{1}{6}.

Passo 3

Para (b) o domínio D é \{(x,y)\mid -1\le x\le1,\;0\le y\le1-x^2\} e 0\le z\le1-x^2.
V_b=\iint_{D}(1-x^2)\,dx\,dy =\int_{x=-1}^{1}\int_{y=0}^{1-x^2}(1-x^2)\,dy\,dx =\int_{-1}^{1}(1-x^2)^2\,dx.
Por simetria,
V_b=2\int_{0}^{1}(1-2x^2+x^4)\,dx =2\Bigl[1-\tfrac{2}{3}+\tfrac{1}{5}\Bigr] =\frac{16}{15}.

Passo 4

Em (c) a base é a elipse x^2+4y^2\le4 e, para cada (x,y), \;x+y\le z\le x+y+1. A espessura em z é sempre 1, então
V_c=\iint_{x^2+4y^2\le4}1\,dx\,dy =\text{área da elipse }=\pi\cdot2\cdot1=2\pi.á

Passo 5

Para (d) temos 0\le x\le y\le1 e 0\le z\le e^{y^2}. Logo
V_d=\int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{y}\int_{z=0}^{e^{y^2}}dz\,dx\,dy =\int_{0}^{1}\int_{0}^{y}e^{y^2}\,dx\,dy =\int_{0}^{1}y\,e^{y^2}\,dy.
Com t=y^2, dt=2y\,dy, obtemos
V_d=\tfrac12\int_{0}^{1}e^t\,dt =\tfrac12(e-1).

Passo 6

Em (e) as desigualdades são \;x^2+y^2\le a^2 e \;y^2+z^2\le a^2. Para cada y\in[-a,a], \;x\in[-\sqrt{a^2-y^2},\sqrt{a^2-y^2}] e z\in[-\sqrt{a^2-y^2},\sqrt{a^2-y^2}].
A seção reta em xz é um quadrado de lado 2\sqrt{a^2-y^2}, área 4(a^2-y^2).
V_e=\int_{y=-a}^{a}4(a^2-y^2)\,dy =4\Bigl[a^2y-\tfrac{y^3}{3}\Bigr]_{-a}^{a} =\frac{16\,a^3}{3}.

Passo 7

Para (f) precisamos x\ge0, x\le z\le1-y^2. Há região só se 1-y^2\ge0, ou seja y\in[-1,1], e então 0\le x\le1-y^2.
V_f=\int_{y=-1}^{1}\int_{x=0}^{1-y^2}\int_{z=x}^{1-y^2}dz\,dx\,dy =\int_{-1}^{1}\int_{0}^{1-y^2}(1-y^2-x)\,dx\,dy.
\int_{0}^{1-y^2}(1-y^2-x)\,dx =\tfrac{(1-y^2)^2}{2}, \quad V_f=\tfrac12\int_{-1}^{1}(1-y^2)^2\,dy =\tfrac{8}{15}.

Passo 8

Em (g) temos x\ge0, y\ge0, 4x+2y\le z\le3x+y+1. Para não vazio é necessário 4x+2y\le3x+y+1\implies x+y\le1.
V_g=\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1-x}\int_{z=4x+2y}^{3x+y+1}dz\,dy\,dx =\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}(1-x-y)\,dy\,dx.
\int_{0}^{1-x}(1-x-y)\,dy =\tfrac{(1-x)^2}{2}, \quad V_g=\tfrac12\int_{0}^{1}(1-x)^2\,dx =\frac{1}{6}.

Resposta

(a) \tfrac{1}{6}
(b) \tfrac{16}{15}
(c) 2\pi
(d) \tfrac{e-1}{2}
(e) \tfrac{16\,a^{3}}{3}
(f) \tfrac{8}{15}
(g) \tfrac{1}{6}

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