Sejam a>0 e b>0. Mostre que
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a^{n}+b^{n}\right)^{\frac{1}{n}}=\max \{a, b\}

Passo 1

O enunciado pede que, dados a>0 e b>0, a gente mostre
\lim_{n\to\infty}\bigl(a^n+b^n\bigr)^{1/n}=\max\{a,b\}.
Este é um limite de sequência envolvendo potências, e vamos usar a ideia de termo dominante mais o Teorema do Confronto (squeeze theorem).

Passo 2

Defina
M = \max\{a,b\}.
Como a\le M e b\le M, temos
a^n \le M^n \quad\text{e}\quad b^n \le M^n,
portanto
a^n + b^n \le M^n + M^n = 2\,M^n.
Por outro lado, como pelo menos um entre a ou b é igual a M, segue também
a^n + b^n \ge M^n.
Logo,
M^n \le a^n + b^n \le 2\,M^n.

Passo 3

Tirando a raiz n-ésima em cada parte da desigualdade acima, obtemos
M \le \bigl(a^n + b^n\bigr)^{1/n} \le \bigl(2\,M^n\bigr)^{1/n} =2^{1/n}\,M.
Sabendo que
\lim_{n\to\infty}2^{1/n}=1,
pelo Teorema do Confronto fica
\lim_{n\to\infty}\bigl(a^n + b^n\bigr)^{1/n} = M.

Resposta

\max\{a,b\}

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