Calcule o volume do conjunto dado
(a) \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 0 \leq x \leq 2,1 \leq y \leq 2,0 \leq z \leq \sqrt{x y}\right\}.
(b) \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1, x^{2}+y^{2} \leq z \leq 2\right\}.
(c) \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 1 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 1, x+y \leq z \leq x+y+2\right\}.
(d) \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1,1 \leq z \leq e^{x+y}\right\}.

Passo 1

O enunciado pede o volume de quatro regiões em \mathbb{R}^3. Para cada uma, usamos a interpretação de volume como integral tripla
V=\iiint_{\Omega}1\,dV,
escolhendo a ordem dz\,dy\,dx (ou outra conveniente). Em cada caso identificamos os limites de x, y e z a partir das desigualdades e calculamos a integral aninhada.

Passo 2

Para o item (a) a região é
0\le x\le2,\quad1\le y\le2,\quad0\le z\le\sqrt{xy}.
Logo
V_a=\int_{x=0}^{2}\int_{y=1}^{2}\int_{z=0}^{\sqrt{xy}}1\,dz\,dy\,dx =\int_{0}^{2}\!\!\int_{1}^{2}\sqrt{xy}\;dy\,dx.
Como \sqrt{xy}=\sqrt{x}\,\sqrt{y}, temos
\int_{1}^{2}\sqrt{xy}\,dy =\sqrt{x}\int_{1}^{2}y^{1/2}dy =\sqrt{x}\,\biggl[\tfrac{2}{3}y^{3/2}\biggr]_{1}^{2} =\sqrt{x}\,\tfrac{2}{3}\bigl(2^{3/2}-1\bigr).
Então
V_a =\tfrac{2}{3}\bigl(2^{3/2}-1\bigr)\int_{0}^{2}x^{1/2}dx =\tfrac{2}{3}\bigl(2^{3/2}-1\bigr)\,\bigl[\tfrac{2}{3}x^{3/2}\bigr]_{0}^{2} =\tfrac{4}{9}\,2^{3/2}\bigl(2^{3/2}-1\bigr) =\tfrac{4}{9}(8-2\sqrt2).

Passo 3

Para o item (b) a região é
0\le x\le1,\quad0\le y\le1,\quad x^2+y^2\le z\le2.
O volume é
V_b =\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}\!\!\int_{z=x^2+y^2}^{2}1\,dz\,dy\,dx =\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}\bigl(2-(x^2+y^2)\bigr)\,dy\,dx.
Separando
\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}2\,dy\,dx=2, \quad \int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}x^2\,dy\,dx=\tfrac{1}{3}, \quad \int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}y^2\,dy\,dx=\tfrac{1}{3}.
Logo
V_b=2-\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{3}=\tfrac{4}{3}.

Passo 4

Para o item (c) a região é
1\le x\le2,\quad0\le y\le1,\quad x+y\le z\le x+y+2.
Aqui a “altura” em z é constante igual a 2. Assim
V_c =\int_{1}^{2}\!\!\int_{0}^{1}\!\!\int_{z=x+y}^{x+y+2}1\,dz\,dy\,dx =\int_{1}^{2}\!\!\int_{0}^{1}2\,dy\,dx =2\cdot(2-1)\cdot1 =2.

Passo 5

Para o item (d) a região é
0\le x\le1,\quad0\le y\le1,\quad1\le z\le e^{x+y}.
O volume é
V_d =\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}\!\!\int_{z=1}^{e^{x+y}}1\,dz\,dy\,dx =\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}\bigl(e^{x+y}-1\bigr)\,dy\,dx.
Como \displaystyle\int_{0}^{1}e^{x+y}dy=e^x\,(e-1), obtemos
V_d =(e-1)\int_{0}^{1}e^x\,dx-\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}1\,dy\,dx =(e-1)^2-1 =e^2-2e.

Resposta

(a) \displaystyle V_a=\frac{4}{9}\bigl(8-2\sqrt2\bigr).
(b) \displaystyle V_b=\frac{4}{3}.
(c) \displaystyle V_c=2.
(d) \displaystyle V_d=e^2-2e.

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