Calcule o volume do conjunto dado
(a)
e
.
(b)
e
.
(c)
e
.
(d)
e
.
(e)
e
.
(f)
e
.
(g)
e
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de volumes de várias regiões em
definidas por desigualdades em
. Em cada caso vamos montar a integral tripla do tipo
ou, quando
está entre duas superfícies
e
,
usando Fubini com a ordem de integração mais conveniente.
Passo 2
(a) A projeção no plano
é o triângulo
e para cada
temos
. Portanto
Calculando, chega-se a
Passo 3
(b) Aqui
,
. Como
implica
, a projeção no
é
Então
Passo 4
(c) A projeção no plano
é a elipse
. Para cada
vale
logo
Essa área é a de uma elipse de semi-eixos
e
, ou seja
. Portanto
Passo 5
(d) As desigualdades são
No plano
temos
e para dado
,
. Assim
Invertendo a ordem
de 0 a 1 e
de 0 a
obtemos
Passo 6
(e) A região é a interseção de dois cilindros perpendiculares de raio
:
Esse sólido é o clássico de Steinmetz e tem volume
Passo 7
(f) As desigualdades são
Para existir
precisamos de
, o que implica
e
. Assim
A conta leva a
Passo 8
(g) Em
temos
,
e é preciso que
A projeção é o triângulo
. O volume é
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)