Calcule o volume do conjunto dado
(a) \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x \geq 0, y \geq 0, x+y \leq 1\right. e \left.0 \leq z \leq x^{2}+y^{2}\right\}.
(b) \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 0 \leq y \leq 1-x^{2}\right. e \left.0 \leq z \leq 1-x^{2}\right\}.
(c) \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+4 y^{2} \leq 4\right. e \left.x+y \leq z \leq x+y+1\right\}.
(d) \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x \geq 0, x \leq y \leq 1\right. e \left.0 \leq z \leq e^{y^{2}}\right\}.
(e) \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2} \leq a^{2}\right. e \left.y^{2}+z^{2} \leq a^{2}\right\},(a>0).
(f) \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x \leq z \leq 1-y^{2}\right. e \left.x \geq 0\right\}.
(g) \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 4 x+2 y \leq z \leq 3 x+y+1, x \geq 0\right. e \left.y \geq 0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de volumes de várias regiões em \mathbb{R}^3 definidas por desigualdades em x,y,z. Em cada caso vamos montar a integral tripla do tipo
V=\iiint_{\Omega}1\,dV
ou, quando z está entre duas superfícies z=z_1(x,y) e z=z_2(x,y),
V=\iint_{D}\bigl(z_2(x,y)-z_1(x,y)\bigr)\,dA,
usando Fubini com a ordem de integração mais conveniente.

Passo 2

(a) A projeção no plano xy é o triângulo
D=\{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;x+y\le1\},
e para cada (x,y) temos 0\le z\le x^2+y^2. Portanto
V_a=\iint_{D}(x^2+y^2)\,dA =\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1-x}(x^2+y^2)\,dy\,dx.
Calculando, chega-se a
V_a=\frac{1}{6}.

Passo 3

(b) Aqui 0\le y\le1-x^2, 0\le z\le1-x^2. Como 1-x^2\ge0 implica |x|\le1, a projeção no xy é
x\in[-1,1],\quad y\in[0,1-x^2].
Então
V_b =\int_{x=-1}^{1}\int_{y=0}^{1-x^2}\int_{z=0}^{1-x^2}dz\,dy\,dx =\int_{-1}^{1}\int_{0}^{1-x^2}(1-x^2)\,dy\,dx =\int_{-1}^{1}(1-x^2)^2\,dx =\frac{16}{15}.

Passo 4

(c) A projeção no plano xy é a elipse x^2+4y^2\le4. Para cada (x,y) vale
x+y\le z\le x+y+1,
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V_c =\iint_{x^2+4y^2\le4}\bigl[(x+y+1)-(x+y)\bigr]\,dA =\iint_{x^2+4y^2\le4}1\,dA.
Essa área é a de uma elipse de semi-eixos 2 e 1, ou seja A=2\pi. Portanto
V_c=2\pi.

Passo 5

(d) As desigualdades são
x\ge0,\quad x\le y\le1,\quad 0\le z\le e^{y^2}.
No plano xy temos x\in[0,1] e para dado x, y\in[x,1]. Assim
V_d =\int_{x=0}^{1}\int_{y=x}^{1}\int_{z=0}^{e^{y^2}}dz\,dy\,dx =\int_{0}^{1}\int_{x}^{1}e^{y^2}\,dy\,dx.
Invertendo a ordem y de 0 a 1 e x de 0 a y obtemos
V_d =\int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{y}e^{y^2}\,dx\,dy =\int_{0}^{1}y\,e^{y^2}\,dy =\tfrac12\bigl[e^{y^2}\bigr]_{0}^{1} =\frac{e-1}{2}.

Passo 6

(e) A região é a interseção de dois cilindros perpendiculares de raio a:
x^2+y^2\le a^2, \quad y^2+z^2\le a^2.
Esse sólido é o clássico de Steinmetz e tem volume
V_e=\frac{16\,a^3}{3}.

Passo 7

(f) As desigualdades são
x\ge0,\quad x\le z\le1-y^2.
Para existir z precisamos de 1-y^2\ge x\ge0, o que implica -1\le y\le1 e x\in[0,1-y^2]. Assim
V_f =\int_{y=-1}^{1}\int_{x=0}^{1-y^2}\int_{z=x}^{1-y^2}dz\,dx\,dy =\int_{-1}^{1}\int_{0}^{1-y^2}\bigl((1-y^2)-x\bigr)\,dx\,dy.
A conta leva a
V_f=\frac{8}{15}.

Passo 8

(g) Em xy temos x\ge0, y\ge0 e é preciso que
3x+y+1\ge4x+2y \;\Longleftrightarrow\; x+y\le1.
A projeção é o triângulo \{x\ge0,y\ge0,x+y\le1\}. O volume é
V_g =\iint_{x+y\le1}\bigl[(3x+y+1)-(4x+2y)\bigr]\,dA =\iint_{x+y\le1}(1-x-y)\,dA =\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}\!(1-x-y)\,dy\,dx =\frac{1}{6}.

Resposta

(a) \displaystyle \tfrac{1}{6}
(b) \displaystyle \tfrac{16}{15}
(c) \displaystyle 2\pi
(d) \displaystyle \tfrac{e-1}{2}
(e) \displaystyle \tfrac{16\,a^{3}}{3}
(f) \displaystyle \tfrac{8}{15}
(g) \displaystyle \tfrac{1}{6}

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