Calcule o volume do conjunto A dado.
(d) A=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 4 x+2 y \leqslant z \leqslant 3 x+y+1, x \geqslant 0\right. e \left.y \geqslant 0\right\}.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
A = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : 4x+2y \le z \le 3x+y+1,\; x\ge0,\;y\ge0\}.
Queremos o volume de A, que é dado por um integral triplo. Vamos projetar em xy-plano e integrar a “altura” z_{\text{topo}}-z_{\text{base}}.

Passo 2

A “altura” em cada (x,y) é
z_{\text{topo}} - z_{\text{base}} = (3x+y+1) - (4x+2y) = 1 - x - y.
Para que haja pontos z válidos, precisamos de 1 - x - y \ge 0, junto com x\ge0 e y\ge0. Logo a projeção T no plano xy é o triângulo
T = \{(x,y) : x\ge0,\;y\ge0,\;x+y\le1\}.

Passo 3

O volume de A será
V = \iint_{T} \bigl(1 - x - y\bigr)\,dA.
Em coordenadas cartesianas, podemos tomar x de 0 a 1 e, para cada x, y de 0 a 1 - x.

Passo 4

Escrevendo o integral iterado:
V = \int_{x=0}^{1} \!\int_{y=0}^{1-x} (1 - x - y)\,dy\,dx.
Primeiro fazemos a integral em y:
\int_{0}^{1-x} (1 - x - y)\,dy = (1 - x)(1 - x) \;-\;\frac{(1 - x)^2}{2} = \frac{(1 - x)^2}{2}.

Passo 5

Agora integramos em x:
V = \int_{0}^{1} \frac{(1 - x)^2}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} (1 - 2x + x^2)\,dx = \frac{1}{2}\Bigl[x - x^2 + \tfrac{x^3}{3}\Bigr]_{0}^{1} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3} = \frac{1}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}

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