Calcule o volume do conjunto A dado.
(d) A=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 4 x+2 y \leqslant z \leqslant 3 x+y+1, x \geqslant 0\right. e \left.y \geqslant 0\right\}.

Passo 1

O conjunto A\subset\mathbb{R}^3 é dado pelas desigualdades
4x+2y \le z \le 3x+y+1,\quad x\ge0,\;y\ge0.
Queremos o volume de A. A estratégia é projetar A no plano xy, achar a região D de projeção e então calcular
\mathrm{Vol}(A)=\iint_{D}\bigl(z_{\text{top}}(x,y)-z_{\text{bot}}(x,y)\bigr)\,dA.

Passo 2

Para existir ponto em A deve valer
4x+2y\le3x+y+1
ou seja
x+y\le1.
Com x\ge0 e y\ge0, a região de projeção D é o triângulo de vértices (0,0), (1,0), (0,1).

Passo 3

Em cada (x,y)\in D, z varia de
z_{\text{bot}}=4x+2y \quad\text{até}\quad z_{\text{top}}=3x+y+1.é
Logo o volume é
\mathrm{Vol}(A) =\iint_{D}\bigl((3x+y+1)-(4x+2y)\bigr)\,dA =\iint_{D}(1 - x - y)\,dA.

Passo 4

Escolhendo a ordem y de 0 a 1-x e x de 0 a 1,
\mathrm{Vol}(A) =\int_{x=0}^{1}\!\int_{y=0}^{1-x}(1-x-y)\,dy\,dx.
Calculemos a integral interna:
\int_{0}^{1-x}(1-x-y)\,dy =(1-x)(1-x)-\frac{(1-x)^2}{2} =\frac{(1-x)^2}{2}.
Agora a externa:
\int_{0}^{1}\frac{(1-x)^2}{2}\,dx =\frac{1}{2}\int_{0}^{1}(1 - 2x + x^2)\,dx =\frac{1}{2}\Bigl[\,x - x^2 + \tfrac{x^3}{3}\Bigr]_{0}^{1} =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3} =\frac{1}{6}.

Resposta

O volume de A é \displaystyle \frac{1}{6}.

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