Determine se a funçã dada é perídica. Se foc, encontre seu periods fundamental.
\operatorname{senh}(2 x)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função \operatorname{senh}(2x) é periódica e, em caso afirmativo, achar seu período fundamental. O conteúdo é periodicidade de funções reais.

Passo 2

Uma função f é periódica se existe T>0 tal que, para todo x,
f(x+T)=f(x).
No nosso caso, seria
\operatorname{senh}\bigl(2(x+T)\bigr)=\operatorname{senh}(2x).

Passo 3

Usando a forma exponencial
\operatorname{senh}(2x)=\frac{e^{2x}-e^{-2x}}{2},
temos
\operatorname{senh}\bigl(2(x+T)\bigr) =\frac{e^{2x+2T}-e^{-2x-2T}}{2} =e^{2T}\frac{e^{2x}}{2}-e^{-2T}\frac{e^{-2x}}{2}.
Para igualar isso a \tfrac{e^{2x}-e^{-2x}}{2} para todo x precisaríamos e^{2T}=1 e e^{-2T}=1, o que só ocorre se T=0. Logo não existe período T>0.

Resposta

A função \operatorname{senh}(2x) não é periódica.

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