Determine se a funçã dada é perídica. Se foc, encontre seu periods fundamental.
\operatorname{sen}(5 x)

Passo 1

O enunciado pede para determinarmos se a função f(x)=\sin(5x) é periódica e, em caso afirmativo, encontrar seu período fundamental. O conteúdo aqui é periodicidade de funções trigonométricas, em especial da função seno.

Passo 2

Usamos a definição de periodicidade: existe T>0 tal que
f(x+T)=f(x)\quad\forall x\in\mathbb{R}.
No nosso caso,
\sin\bigl(5(x+T)\bigr)=\sin(5x).
Como a função seno tem período 2\pi, precisamos que
5(x+T)=5x+2\pi k
para algum inteiro k. Isso leva a
5T=2\pi k \quad\Longrightarrow\quad T=\frac{2\pi k}{5},\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Os períodos de \sin(5x) são todos os valores T_k=\tfrac{2\pi k}{5}. O período fundamental é o menor T>0, obtido para k=1:
T_0=\frac{2\pi}{5}.

Resposta

A função é periódica e seu período fundamental é \displaystyle \frac{2\pi}{5}.

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