Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)
x^2+y^2 <= 1 ex x+y <= z <= 4.

Passo 1

A questão pede o volume da região em ℝ³ definida por x²+y²≤1 e x+y≤z≤4. O conteúdo é cálculo de volume via integral tripla; vamos precisar montar limites para x,y (o disco unitário) e para z (entre o plano z=x+y e o plano z=4).

Passo 2

Para cada ponto (x,y) no disco D: x²+y²≤1, z varia de z=x+y até z=4. Logo o volume é
V=integral duplaDl(integralz=x+y^4dzr)dA=integral duplaDl(4-(x+y)r),dA

Passo 3

O disco D é simétrico em x e y, então
integral duplaDx,dA=0,integral duplaDy,dA=0

Passo 4

Assim
V=4integral duplaD1,dA=4cdotArea(D)=4pi

Resposta

4\pi

Exercícios relacionados