Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)
x \geq 0, y \geq 0, x+y \leq 1 \mathrm{e} 0 \leq z \leq x^{2}+y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido delimitado por
  • x\ge0, y\ge0, x+y\le1 (uma região triangular no primeiro quadrante),
  • 0\le z\le x^2+y^2.
    O conteúdo principal é a construção de uma integral tripla e a redução a uma integral dupla sobre a região triangular em xy.

Passo 2

Projetando no plano xy, a base do sólido é
T = \{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le1-x\}.
Logo o volume é
V = \iiint_{\text{região}} dV = \iint_{T}\Bigl(\int_{z=0}^{z=x^2+y^2}dz\Bigr)\,dx\,dy = \iint_{T}(x^2+y^2)\,dx\,dy.ã

Passo 3

Escrevendo em ordem dx\,dy ou dy\,dx, escolhemos
V = \int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1-x}(x^2+y^2)\,dy\,dx.

Passo 4

Calculemos primeiro a integral interna em y:
\int_{0}^{1-x}(x^2+y^2)\,dy = x^2\,(1-x) + \int_{0}^{1-x}y^2\,dy = x^2(1-x) + \frac{(1-x)^3}{3}.

Passo 5

Agora integramos em x:
V = \int_{0}^{1}\Bigl[x^2(1-x) + \frac{(1-x)^3}{3}\Bigr]dx.
Expandindo e integrando termo a termo, obtém-se
V = \frac{1}{6}.

Resposta

O volume do sólido é \displaystyle \frac{1}{6}.

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