Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)
x^{2}+y^{2} \leq 1 \mathrm{e} x+y+2 \leq z \leq 4.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
E = \{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}\le1,\;x+y+2\le z\le4\}
e pede o volume de E. O conteúdo aqui é cálculo de volume por integral tripla, projetando a região no plano xy e integrando em z.

Passo 2

Escrevemos o volume como integral tripla e depois reduzimos à projeção D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le1\}:
V = \iiint_{E}dV = \iint_{D}\Bigl(\int_{x+y+2}^{4}dz\Bigr)dA.

Passo 3

Calculamos primeiro a integral em z:
\int_{x+y+2}^{4}dz = 4 - (x+y+2) = 2 - x - y.
Logo
V = \iint_{D}(2 - x - y)\,dA.

Passo 4

No disco D simétrico em torno da origem,
\iint_{D}x\,dA = 0, \quad \iint_{D}y\,dA = 0, \quad \iint_{D}1\,dA = \pi\cdot1^{2}=\pi.
Assim
V = 2\iint_{D}1\,dA = 2\pi.

Resposta

V = 2\pi.)

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