Encontre o erro na seguinte “prova”, por indução matemática, que garante 2+4+6+\ldots+2 n= (n-1)(n+2), para todos os números naturais n.
Se assumimos que 2+4+6+\ldots+2 k=(k-1)(k+2), para algum k, então
\begin{aligned} 2+4+6+\ldots+2(k+1) & =(k-1)(k+2)+2(k+1) \\\ & =k^{2}+k-2+2 k+2 \\\ & =k(k+3) \\\ & =[(k+1)-1][(k+1)+2] \end{aligned}
o que significa que sendo verdadeiro para k, é verdadeiro para k+1 \mathrm{e}, portanto, é verdadeiro para todos os naturais.

Passo 1

O enunciado tenta provar por indução que, para todo natural n,
2 + 4 + 6 + \cdots + 2n = (n-1)(n+2).
Para usar indução, precisamos verificar um caso base (por exemplo, n=1) e depois mostrar que, se vale para n=k, vale para n=k+1.

Passo 2

Verificação do caso base n=1:
A soma dos primeiros 1 pares é
2 + \cdots + 2\cdot1 = 2,
enquanto o lado direito da fórmula dá
(1-1)(1+2) = 0 \cdot 3 = 0.
Portanto, para n=1 a igualdade não se verifica 2 \neq 0.

Passo 3

O passo indutivo apresentado mostra corretamente que
(k-1)(k+2) + 2(k+1) = k(k+3) = [(k+1)-1][(k+1)+2],
mas isso só nos garante que, se a fórmula fosse verdadeira em k, seria verdadeira em k+1. Como porém ela já falha em k=1, não há ponto de partida válido para a indução.

Resposta

O erro está em não verificar (ou em assumir falsamente) um caso base verdadeiro. Para n=1 a fórmula falha, portanto a indução não é iniciada.

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