Encontre o erro na seguinte “prova”, por indução matemática, que garante
, para todos os números naturais
.
Se assumimos que
, para algum
, então
o que significa que sendo verdadeiro para
, é verdadeiro para
, portanto, é verdadeiro para todos os naturais.
Se assumimos que
Passo 1
O enunciado tenta provar por indução que, para todo natural
,
Para usar indução, precisamos verificar um caso base (por exemplo,
) e depois mostrar que, se vale para
, vale para
.
Passo 2
Verificação do caso base
:
A soma dos primeiros pares é
A soma dos primeiros
enquanto o lado direito da fórmula dá
Portanto, para
a igualdade não se verifica
.
Passo 3
O passo indutivo apresentado mostra corretamente que
mas isso só nos garante que, se a fórmula fosse verdadeira em
, seria verdadeira em
. Como porém ela já falha em
, não há ponto de partida válido para a indução.
Resposta
O erro está em não verificar (ou em assumir falsamente) um caso base verdadeiro. Para
a fórmula falha, portanto a indução não é iniciada.