Calcule por coordenadas polares a integral dupla \iint_{R} e^{x^{2}+y^{2}} d A, onde R é a região limitada pelas circunferências x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=9.

Passo 1

O enunciado nos dá a integral dupla
\iint_{R} e^{x^{2}+y^{2}}\,dA
onde R é o anel definido por 1\le x^{2}+y^{2}\le9. O conteúdo principal aqui é a transformação para coordenadas polares, em que x^{2}+y^{2}=r^{2} e dA=r\,dr\,d\theta.

Passo 2

Vamos reescrever a integral em coordenadas polares. Na região R temos
1\le r^{2}\le9 \quad\Longrightarrow\quad 1\le r\le3,
e \theta varia de 0 a 2\pi. Logo
\iint_{R} e^{x^{2}+y^{2}}\,dA = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=1}^{3} e^{r^{2}}\,(r\,dr)\,d\theta.

Passo 3

Calculemos a integral interna em r:
\int_{r=1}^{3} r\,e^{r^{2}}\,dr.
Fazendo a substituição u=r^{2}, temos du=2r\,dr, ou r\,dr=\tfrac12\,du. Assim,
\int_{1}^{3} r\,e^{r^{2}}\,dr = \tfrac12 \int_{u=1^{2}}^{u=3^{2}} e^{u}\,du = \tfrac12\bigl[e^{u}\bigr]_{1}^{9} = \tfrac12\bigl(e^{9}-e^{1}\bigr).

Passo 4

Agora integramos em \theta:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
Multiplicando pelos resultados das duas integrais, obtemos
\iint_{R} e^{x^{2}+y^{2}}\,dA = 2\pi \times \tfrac12\bigl(e^{9}-e\bigr) = \pi\bigl(e^{9}-e\bigr).

Resposta

\pi\bigl(e^{9}-e\bigr)

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