Calcule o volume do conjunto dado:
e
Temos que
Passo 1
A questão pede o volume do sólido definido por
o que significa a interseção de um cilindro de raio 2 com uma esfera de raio 3. O conteúdo da matéria é cálculo de volume por integração em coordenadas cilíndricas, já que a região é simétrica em torno do eixo
.
Passo 2
Para usar coordenadas cilíndricas, fazemos
e o elemento de volume é
Os limites viram
Passo 3
Primeiro, integramos em
. Para cada
fixos, temos
Então o volume vira
Passo 4
Agora integramos em
, que só multiplica por
. Ficamos com
Passo 5
Para resolver
fazemos a substituição
, então
, ou seja
. Quando
,
; quando
,
. A integral fica
Passo 6
Integrando
, temos
Substituindo em
vezes isso, achamos o resultado final.