Calcule o volume do conjunto dado:
x^2+y^2 <= 4 e x^2+y^2+z^2 <= 9( Temos que -raiz9-x^2-y^2 <= z <= raiz9-x^2-y^2)

Passo 1

A questão pede o volume do sólido definido por
x^2 + y^2 <= 4, x^2 + y^2 + z^2 <= 9,
o que significa a interseção de um cilindro de raio 2 com uma esfera de raio 3. O conteúdo da matéria é cálculo de volume por integração em coordenadas cilíndricas, já que a região é simétrica em torno do eixo z.

Passo 2

Para usar coordenadas cilíndricas, fazemos
x = rcostheta, y = rsintheta,
e o elemento de volume é
dV = r,dr,dtheta,dz
Os limites viram
0 <= r <= 2, 0 <= theta <= 2pi, -raiz9 - r^2 <= z <= raiz9 - r^2

Passo 3

Primeiro, integramos em z. Para cada (r,theta) fixos, temos
integralz=-raiz9-r^2^raiz9-r^2 r,dz = r l[2raiz9 - r^2r] = 2rraiz9 - r^2
Então o volume vira
V = integraltheta=0^2pi integralr=0^2 2rraiz9 - r^2,dr,dtheta

Passo 4

Agora integramos em theta, que só multiplica por 2pi. Ficamos com
V = 2pi cdot 2 integral0^2 rraiz9 - r^2,dr = 4pi integral0^2 rraiz9 - r^2,dr

Passo 5

Para resolver
integral0^2 rraiz9 - r^2,dr
fazemos a substituição u = 9 - r^2, então du = -2r,dr, ou seja r,dr = -tfrac12 du. Quando r=0, u=9; quando r=2, u=5. A integral fica
integral0^2 rraiz9 - r^2,dr = -tfrac12 integral9^5 u^1/2,du = tfrac12 integral5^9 u^1/2,du

Passo 6

Integrando u^1/2, temos
tfrac12 integral5^9 u^1/2,du = tfrac12 l[ tfrac23 u^3/2 r]5^9 = tfrac13l(9^3/2 - 5^3/2r) = tfrac13l(27 - 5raiz5r)
Substituindo em V = 4pi vezes isso, achamos o resultado final.

Resposta

V = 4pi3l(27 - 5raiz5r)

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