Derive dy / dx nos exercícios 58 a 61:
y=t /(x^wed>= 2+1)^*(x^wed>= 2-1 / x^wed>= 2)^wed>= 3

Passo 1

O enunciado pede para calcular dy/dx para a função y = t,dfrac(x^2 - x^-2)^3x^2+1. Vamos usar regra do produto (pois há um fator constante t), regra do quociente e regra da cadeia.

Passo 2

Como t é constante em relação a x, podemos escrever y = t,F(x) com F(x)=(x^2 - x^-2)^3x^2+1e ter dy/dx = t,F'(x).

Passo 3

Definimos o numerador u(x)=(x^2 - x^-2)^3. Pela regra da cadeia,
u'(x)=3,(x^2 - x^-2)^2cdotddx(x^2 - x^-2)=3,(x^2 - x^-2)^2,(2x+2x^-3)

Passo 4

O denominador é v(x)=x^2+1, cuja derivada é v'(x)=2x

Passo 5

Pela regra do quociente,
F'(x)=v(x),u'(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2=(x^2+1),3(x^2 - x^-2)^2(2x+2x^-3)-2x,(x^2 - x^-2)^3(x^2+1)^2

Passo 6

Fatorando (x^2 - x^-2)^2,
F'(x)=(x^2 - x^-2)^2l[3(2x+2x^-3)(x^2+1)-2x(x^2 - x^-2)r](x^2+1)^2

Passo 7

Agora simplificamos o colchete:
3(2x+2x^-3)(x^2+1)-2x(x^2 - x^-2)=6x(x^2+1)+6x^-3(x^2+1)-2x^3+2x^-1,que se reduz a 4x^3+6x+8x^-1+6x^-3. Então
F'(x)=(x^2 - x^-2)^2,(4x^3+6x+8x^-1+6x^-3)(x^2+1)^2

Passo 8

Finalmente,
dydx=t,F'(x)=t,(x^2 - x^-2)^2,(4x^3+6x+8x^-1+6x^-3)(x^2+1)^2

Resposta

dydx=t,(x^2 - x^-2)^2,(4x^3+6x+8x^-1+6x^-3)(x^2+1)^2

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