Seja a função f(x, y)=-2 x^2+5 y^3x+y, calcule fx(1,5).

Passo 1

Nesta questão, temos a função $ f(x, y) = \frac{-2x^{2} + 5y^{3}}{x + y} $ e precisamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ no ponto $ (1, 5) $. Vamos usar conceitos de derivadas parciais e a regra do quociente para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, denotada por $ f_x $, mede como a função muda quando $ x $ varia, mantendo $ y $ constante. Para funções que são quocientes, como a nossa, usamos a regra do quociente para encontrar a derivada.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente, temos:
fx(x,y) = (x + y) cdot partialpartial x(-2x^2 + 5y^3) - (-2x^2 + 5y^3) cdot partialpartial x(x + y)(x + y)^2
Vamos calcular cada parte separadamente:
  • A derivada do numerador em relação a $ x $ é $ \frac{\partial}{\partial x}(-2x^{2} + 5y^{3}) = -4x $.
  • A derivada do denominador em relação a $ x $ é $ \frac{\partial}{\partial x}(x + y) = 1 $.
Substituindo essas derivadas na expressão:
x

Passo 4

Agora, substituímos os valores $ x = 1 $ e $ y = 5 $ na expressão da derivada:
x = 1
Vamos calcular passo a passo:
  1. $ 1 + 5 = 6 $
  2. $ -4 \cdot 1 = -4 $
  3. $ -2 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 5^{3} = -2 + 5 \cdot 125 = -2 + 625 = 623 $
  4. Substituindo na expressão:
y = 5

Resposta

Portanto, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ no ponto $ (1, 5) $ é:
f

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