Seja a função
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Passo 1
Nesta questão, temos a função $ f(x, y) = \frac{-2x^{2} + 5y^{3}}{x + y} $ e precisamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ no ponto $ (1, 5) $. Vamos usar conceitos de derivadas parciais e a regra do quociente para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, denotada por $ f_x $, mede como a função muda quando $ x $ varia, mantendo $ y $ constante. Para funções que são quocientes, como a nossa, usamos a regra do quociente para encontrar a derivada.
Passo 3
Aplicando a regra do quociente, temos:
Vamos calcular cada parte separadamente:
- A derivada do numerador em relação a $ x $ é $ \frac{\partial}{\partial x}(-2x^{2} + 5y^{3}) = -4x $.
- A derivada do denominador em relação a $ x $ é $ \frac{\partial}{\partial x}(x + y) = 1 $.
Substituindo essas derivadas na expressão:
Passo 4
Agora, substituímos os valores $ x = 1 $ e $ y = 5 $ na expressão da derivada:
Vamos calcular passo a passo:
- $ 1 + 5 = 6 $
- $ -4 \cdot 1 = -4 $
- $ -2 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 5^{3} = -2 + 5 \cdot 125 = -2 + 625 = 623 $
- Substituindo na expressão:
Resposta
Portanto, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ no ponto $ (1, 5) $ é: