Calcule usando coordenadas esféricas:
onde
é o conjunto
.
Passo 1
A questão pede o volume da região B definida por x≤0 e x²+y²+z²≤4, usando coordenadas esféricas. O conteúdo é transformação esférica (x=ρ sinφ cosθ, y=ρ sinφ sinθ, z=ρ cosφ) e uso do jacobiano ρ² sinφ.
Passo 2
Em esféricas, a condição x≤0 torna-se ρ sinφ cosθ ≤ 0, ou seja cosθ ≤ 0. Logo θ ∈ [π/2, 3π/2]. A esfera de raio 2 dá ρ ∈ [0,2] e o ângulo polar φ ∈ [0,π].
Passo 3
O volume é então dado por
Passo 4
Integral em ρ:
. Assim o integral vira
.
Passo 5
Integral em φ:
. Ficamos com
.
Passo 6
Integral em θ:
. Portanto o integral total é
.