Calcule usando coordenadas esféricas:
integral triplaB d x d y d z onde B é o conjunto x <= 0, x^2+y^2+z^2 <= 4.

Passo 1

A questão pede o volume da região B definida por x≤0 e x²+y²+z²≤4, usando coordenadas esféricas. O conteúdo é transformação esférica (x=ρ sinφ cosθ, y=ρ sinφ sinθ, z=ρ cosφ) e uso do jacobiano ρ² sinφ.

Passo 2

Em esféricas, a condição x≤0 torna-se ρ sinφ cosθ ≤ 0, ou seja cosθ ≤ 0. Logo θ ∈ [π/2, 3π/2]. A esfera de raio 2 dá ρ ∈ [0,2] e o ângulo polar φ ∈ [0,π].

Passo 3

O volume é então dado por
integralθ=π/2^3π/2integralφ=0^πintegralρ=0^2ρ^2,sinφ,dρ,dφ,dθ

Passo 4

Integral em ρ: integral0^2ρ^2dρ=[ρ^3/3]0^2=8/3. Assim o integral vira (8/3)integralθ=π/2^3π/2integralφ=0^πsinφ,dφ,dθ.

Passo 5

Integral em φ: integral0^πsinφ,dφ=[-cosφ]0^π=2. Ficamos com (8/3)cdot 2integralπ/2^3π/2dθ.

Passo 6

Integral em θ: integralπ/2^3π/2dθ=π. Portanto o integral total é (8/3)cdot 2cdot π.

Resposta

16pi/3

Exercícios relacionados