Calcule o volume do conjunto dado:
x^2+y^2 <= z <= 4( Temos que x^2+y^2 <= 4.)

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado inferiormente pela parábola z = x^2 + y^2, superiormente pelo plano z = 4 e cuja projeção no plano xy é o disco x^2 + y^2 <= 4. Vamos usar integrais duplas e coordenadas polares para resolver.

Passo 2

Para calcular o volume entre duas superfícies zbot(x,y) e ztop(x,y) sobre uma região D, usamos a fórmula
V = integral duplaD l(ztop(x,y) - zbot(x,y)r),dA
Aqui temos ztop=4 e zbot=x^2+y^2, e D é o disco x^2+y^2<=4.

Passo 3

Passamos para coordenadas polares: x=rcostheta, y=rsintheta, então x^2+y^2=r^2 e dA = r,dr,dtheta. O disco vira 0<= r<=2, 0<=theta<=2pi. O volume fica
V = integral0^2piintegral0^2 l(4 - r^2r),r,dr,dtheta

Passo 4

Agora calculamos em duas etapas. Primeiro em r:
integral0^2(4r - r^3),dr = l[2r^2 - tfracr^44r]0^2 = (8 - 4) = 4
Depois em theta:
integral0^2pi4,dtheta = 4cdot2pi = 8pi

Resposta

8\pi

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