A equação de onda unidimensional é dada por partial^2 wpartial t^2=c^2 partial^2 wpartial x^2, onde c é a velocidade de propagação da onda, x é a distância e t o tempo. Mostre que as funções nos itens a seguir são todas soluções da equação de onda:
w=5 cos (3 x+3 c t)+e^x+c t

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função
w(x,t)=5cos(3x+3ct)+e^x+ct
satisfaz a equação de onda unidimensional
partial^2 wpartial t^2=c^2partial^2 wpartial x^2
Para isso, vamos calcular as segundas derivadas parciais em relação a t e a x e checar se são proporcionais segundo a constante c².

Passo 2

Começamos pela parte w1(x,t)=5cos(3x+3ct). Usando a regra da cadeia:
partial w1partial t=-5sin(3x+3ct)cdot3c=-15csin(3x+3ct),
partial^2 w1partial t^2=-15ccos(3x+3ct)cdot3c=-45c^2cos(3x+3ct)
De modo análogo nas derivadas em x:
partial^2 w1partial x^2=-45cos(3x+3ct)
Logo
partial^2 w1partial t^2=c^2partial^2 w1partial x^2

Passo 3

Agora analisamos w2(x,t)=e^x+ct. Definindo u=x+ct, temos:
partial w2partial t=c,e^x+ct,
partial^2 w2partial t^2=c^2e^x+ct
E em x:
partial^2 w2partial x^2=e^x+ct
Portanto
partial^2 w2partial t^2=c^2partial^2 w2partial x^2

Passo 4

A equação de onda é linear e homogênea, então qualquer soma de soluções também é solução. Como mostramos que w1 e w2 satisfazem partial^2 w/partial t^2=c^2partial^2 w/partial x^2, a combinação
w=w1+w2=5cos(3x+3ct)+e^x+ct
é solução da equação de onda.

Resposta

As duas parcelas satisfazem a equação de onda e pela propriedade de superposição a soma também satisfaz, logo
w(x,t)=5cos(3x+3ct)+e^x+ct
é de fato solução da equação de onda unidimensional.

Exercícios relacionados