A equação de onda unidimensional é dada por
, onde
é a velocidade de propagação da onda,
é a distância e
o tempo. Mostre que as funções nos itens a seguir são todas soluções da equação de onda:
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a função
satisfaz a equação de onda unidimensional
Para isso, vamos calcular as segundas derivadas parciais em relação a t e a x e checar se são proporcionais segundo a constante c².
Passo 2
Começamos pela parte
. Usando a regra da cadeia:
De modo análogo nas derivadas em x:
Logo
Passo 3
Agora analisamos
. Definindo
, temos:
E em x:
Portanto
Passo 4
A equação de onda é linear e homogênea, então qualquer soma de soluções também é solução. Como mostramos que
e
satisfazem
, a combinação
é solução da equação de onda.
Resposta
As duas parcelas satisfazem a equação de onda e pela propriedade de superposição a soma também satisfaz, logo
é de fato solução da equação de onda unidimensional.