A equação de Laplace tridimensional
é satisfeita pelas distribuições de temperatura no estado estacionário
no espaço, pelos potenciais gravitacionais e pelos potenciais eletrostáticos. A equação de Laplace bidimensional
é obtida eliminando-se a derivada parcial em relação à
da equação anterior, e descreve potenciais e distribuições de temperatura no estado estacionário no plano. Mostre que cada função nos itens a seguir satisfaz uma equação de Laplace:
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos mostrar que a função
é harmônica no espaço, isto é, satisfaz a equação de Laplace tridimensional
Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem e somá-las.
Passo 2
Cálculo das derivadas segundas em x e y:
Calculamos primeiro as derivadas em x:
Como x e y aparecem de forma simétrica em
Passo 3
Cálculo da derivada segunda em z:
Derivando em z, tratamos x e y como constantes:
Passo 4
Verificação da equação de Laplace:
Somando as segundas derivadas obtidas:
Como a soma é zero,
Resposta
De fato,
, logo a função é harmônica e satisfaz a equação de Laplace tridimensional.