A equação de Laplace tridimensional partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2+partial^2 fpartial z^2=0 é satisfeita pelas distribuições de temperatura no estado estacionário T=f(x, y, z) no espaço, pelos potenciais gravitacionais e pelos potenciais eletrostáticos. A equação de Laplace bidimensional partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2=0 é obtida eliminando-se a derivada parcial em relação à z da equação anterior, e descreve potenciais e distribuições de temperatura no estado estacionário no plano. Mostre que cada função nos itens a seguir satisfaz uma equação de Laplace:
f(x, y, z)=2 z^3-3(x^2+y^2) z

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos mostrar que a função
f(x,y,z)=2z^3-3(x^2+y^2)z
é harmônica no espaço, isto é, satisfaz a equação de Laplace tridimensional
partial^2fpartial x^2+partial^2fpartial y^2+partial^2fpartial z^2=0
Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem e somá-las.

Passo 2

Cálculo das derivadas segundas em x e y:
Calculamos primeiro as derivadas em x:
fx=partial fpartial x=-6xz, fxx=partial^2 fpartial x^2=-6z
Como x e y aparecem de forma simétrica em f, de modo análogo temos:
fy=partial fpartial y=-6yz, fyy=partial^2 fpartial y^2=-6z

Passo 3

Cálculo da derivada segunda em z:
Derivando em z, tratamos x e y como constantes:
fz=partial fpartial z=6z^2-3(x^2+y^2), fzz=partial^2 fpartial z^2=12z

Passo 4

Verificação da equação de Laplace:
Somando as segundas derivadas obtidas:
fxx+fyy+fzz=-6z-6z+12z=0
Como a soma é zero, f satisfaz a equação de Laplace tridimensional.

Resposta

De fato, fxx+fyy+fzz=0, logo a função é harmônica e satisfaz a equação de Laplace tridimensional.

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