Encontre o limite:

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x infty(raiz9 x^2+x-3 x). Neste exercício, trabalharemos com limites no infinito e funções radicais. Para resolver, vamos simplificar a expressão para entender o comportamento dela conforme x cresce sem limites.

Passo 2

Primeiro, observamos a expressão dentro da raiz: 9x^2 + x. Para simplificar, podemos fatorar o termo de maior grau, que é x^2:
raiz9x^2 + x = raizx^2 (9 + 1x)

Passo 3

Agora, extraímos o x de fora da raiz. Como x tende a infinito e é positivo, podemos escrever:
raizx^2 (9 + 1x) = x raiz9 + 1x

Passo 4

Substituímos de volta na expressão original:
raiz9x^2 + x - 3x = x raiz9 + 1x - 3x
Fatoramos o x:
x (raiz9 + 1x - 3)

Passo 5

Agora, analisamos o comportamento de raiz9 + 1x quando x tende a infinito. Como 1x se aproxima de 0, temos:
raiz9 + 0 = 3
Portanto, a expressão dentro dos parênteses tende a 3 - 3 = 0.

Passo 6

Para resolver o limite, precisamos considerar a diferença mais detalhadamente. Podemos multiplicar e dividir pela expressão conjugada:
raiz9 + 1x - 3 = ( raiz9 + 1x - 3 ) ( raiz9 + 1x + 3 )raiz9 + 1x + 3 = 9 + 1x - 9raiz9 + 1x + 3 = 1xraiz9 + 1x + 3

Passo 7

Substituindo de volta na expressão com x:
x cdot 1xraiz9 + 1x + 3 = 1raiz9 + 1x + 3
Agora, ao x infty, raiz9 + 1x 3, então:
13 + 3 = 16

Resposta

O limite é 16.

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