1. Considerando a função
f(x, y)=x+y^2 cos cos x
tal que x=u^2+v^2 e y=u-v encontre, utilizando a regra da cadeia, as derivadas parciais partial fpartial u e partial fpartial v, em função de u e v.

Passo 1

A questão pede para calcular as derivadas parciais de uma função composta usando a regra da cadeia. Temos a função ,f(x,y)=x + y^{2}\cos(\cos x)\ e as substituições x=u{2}+v{2}, y=u-v. Vamos precisar do conceito de derivada parcial, da regra da cadeia para funções de várias variáveis e da diferenciação de \cos(\cos x).

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais da função f em relação às suas variáveis originais x e y. Para f_x usamos a regra do produto e a cadeia em \cos(\cos x): a derivada de \cos(g(x)) é -\sin(g(x))·g’(x), com g(x)=\cos x e g’(x)=-\sin x. Assim,
fx = 1 + y^2 l(-sin(cos x)r)l(-sin xr) = 1 + y^2,sin x,sin(cos x),

Passo 3

e para f_y, tratando y^2 como função de y:
fy = 2y,cos(cos x)

Passo 4

Em seguida, derivamos x e y em relação a u e v:
xu = 2u, xv = 2v, yu = 1, yv = -1

Passo 5

Agora aplicamos a regra da cadeia:
partial fpartial u = fx,xu + fy,yu, partial fpartial v = fx,xv + fy,yv

Passo 6

Finalmente substituímos f_x, f_y, x_u, x_v, y_u, y_v e também x=u2+v2, y=u-v para expressar tudo em termos de u e v.

Resposta

partial fpartial u = 2ul[1 + (u-v)^2,sin(u^2+v^2),sinl(cos(u^2+v^2)r)r] + 2,(u-v),cosl(cos(u^2+v^2)r)
partial fpartial v = 2vl[1 + (u-v)^2,sin(u^2+v^2),sinl(cos(u^2+v^2)r)r] - 2,(u-v),cosl(cos(u^2+v^2)r)

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