- Considerando a função
tal que
e
encontre, utilizando a regra da cadeia, as derivadas parciais
e
, em função de
e
.
Passo 1
A questão pede para calcular as derivadas parciais de uma função composta usando a regra da cadeia. Temos a função ,f(x,y)=x + y^{2}\cos(\cos x)\ e as substituições x=u{2}+v{2}, y=u-v. Vamos precisar do conceito de derivada parcial, da regra da cadeia para funções de várias variáveis e da diferenciação de \cos(\cos x).
Passo 2
Primeiro calculamos as derivadas parciais da função f em relação às suas variáveis originais x e y. Para f_x usamos a regra do produto e a cadeia em \cos(\cos x): a derivada de \cos(g(x)) é -\sin(g(x))·g’(x), com g(x)=\cos x e g’(x)=-\sin x. Assim,
Passo 3
e para f_y, tratando y^2 como função de y:
Passo 4
Em seguida, derivamos x e y em relação a u e v:
Passo 5
Agora aplicamos a regra da cadeia:
Passo 6
Finalmente substituímos f_x, f_y, x_u, x_v, y_u, y_v e também x=u2+v2, y=u-v para expressar tudo em termos de u e v.