Calcule o volume do conjunto dado:
(x, y, z) in R^3 1 <= x <= e^y+z, 0 <= y <= 1,0 <= z <= 1

Passo 1

O enunciado pede o volume do conjunto
(x,y,z)inR^3 mid 1 <= x <= e^y+z,;0<= y<=1,;0<= z<=1
Para isso, vamos usar a ideia de integrar sobre a região em ordem x,y,z, ou seja,
V = integralz=0^1!integraly=0^1!integralx=1^e^y+z dx,dy,dz

Passo 2

Integramos primeiro em x. Como
integralx=1^e^y+z dx = e^y+z - 1,
ficamos com
V = integralz=0^1!integraly=0^1 l(e^y+z - 1r),dy,dz

Passo 3

Separamos o integrando em duas partes:
V = integral0^1!integral0^1 e^y+z,dy,dz ;-;integral0^1!integral0^11,dy,dz

Passo 4

O segundo termo é simples:
integral0^1!integral0^11,dy,dz = 1cdot1 = 1
Para o primeiro termo, note que e^y+z=e^y,e^z, então por Fubini:
integral0^1!integral0^1 e^y+z,dy,dz = l(integral0^1e^y dyr),l(integral0^1e^z dzr)

Passo 5

Calculamos cada uma:
integral0^1 e^y dy = e - 1, integral0^1 e^z dz = e - 1,
portanto
integral0^1!integral0^1 e^y+z,dy,dz = (e - 1),(e - 1) = (e - 1)^2

Passo 6

Reunindo tudo:
V = (e - 1)^2 ;-; 1 = e^2 - 2e +1 -1 = e^2 - 2e

Resposta

O volume é ,e^2 - 2e.

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