(6 pts) O potencial elétrico V(x, y) em certa placa é dado por
z=V(x, y)=x^33+y^4
e uma partícula encontra-se no ponto x0=2 e y0=-1.
(i) Encontre o valor do potencial z0=V(x0, y0) e diga se ele cresce ou decresce na direção do vetor s=-1raiz2 i+1raiz2 j ? Justifique.
(ii) Indique, nesse ponto, em qual direção no plano (x, y) o potencial cresce mais rapidamente, e qual o valor dessa taxa de crescimento.
(iii) Encontre a equaçāo do plano tangente ao gráfico do potencial no ponto ( x0, y0, z0 ).

Passo 1

O enunciado dá o potencial elétrico
V(x,y)=x^33+y^4
e pede, no ponto (x0,y0)=(2,-1):
(i) o valor z0=V(2,-1) e se o potencial cresce ou decresce na direção vec s=(-1/raiz2,,1/raiz2), usando derivada direcional;
(ii) a direção de maior crescimento (gradiente) e a taxa máxima de crescimento;
(iii) a equação do plano tangente ao gráfico de V em (2,-1,z0).
Para resolver, vamos achar as derivadas parciais, montar o gradiente, usar derivada direcional e a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Primeiro calculamos
z0=V(2,-1)=2^33+(-1)^4=84=2
As derivadas parciais são
Vx(x,y)=partialpartial xl(x^33+y^4r) =3x^23+y^4, Vy(x,y)=-4x^3y^3(3+y^4)^2
Em (2,-1) isso vale
Vx(2,-1)=3cdot2^23+1= 124=3, Vy(2,-1)=-4cdot8cdot(-1)^34^2 =3216=2
Logo o gradiente é
nabla V(2,-1)=(3,2)

Passo 3

A derivada direcional de V na direção vec s=(-1/raiz2,,1/raiz2) é
Dvec sV=nabla Vcdotvec s =3l(-1raiz2r)+2l(1raiz2r) =-3+2raiz2=-1raiz2<0
Como Dvec sV<0, o potencial decresce nessa direção.

Passo 4

A direção de mais rápido crescimento é a do gradiente
nabla V(2,-1)=(3,2).
A direção unitária é
nabla V|nabla V| =l(3raiz13,,2raiz13r),
e a taxa máxima de crescimento é
|nabla V(2,-1)| =raiz3^2+2^2=raiz13

Passo 5

A equação do plano tangente a z=V(x,y) em (2,-1,2) usa
z-z0=Vx(2,-1),(x-2)+Vy(2,-1),(y+1)
Substituindo
z-2=3(x-2)+2(y+1) Longrightarrow z=3x+2y-2

Resposta

(i) z0=2. Como Dvec sV=-1/raiz2<0, o potencial decresce na direção dada.
(ii) A direção de crescimento mais rápido é nabla V=(3,2) (unidade (3/raiz13,,2/raiz13)) e a taxa máxima é raiz13.
(iii) O plano tangente é
z=3x+2y-2

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