potencial elétrico
em certa placa é dado por
e uma partícula encontra-se no ponto
e
.
(i) Encontre o valor do potencial
e diga se ele cresce ou decresce na direção do vetor
? Justifique.
(ii) Indique, nesse ponto, em qual direção no plano
o potencial cresce mais rapidamente, e qual o valor dessa taxa de crescimento.
(iii) Encontre a equaçāo do plano tangente ao gráfico do potencial no ponto (
).
(i) Encontre o valor do potencial
(ii) Indique, nesse ponto, em qual direção no plano
(iii) Encontre a equaçāo do plano tangente ao gráfico do potencial no ponto (
Passo 1
O enunciado dá o potencial elétrico
e pede, no ponto
:
(i) o valor e se o potencial cresce ou decresce na direção
, usando derivada direcional;
(ii) a direção de maior crescimento (gradiente) e a taxa máxima de crescimento;
(iii) a equação do plano tangente ao gráfico de em
.
(i) o valor
(ii) a direção de maior crescimento (gradiente) e a taxa máxima de crescimento;
(iii) a equação do plano tangente ao gráfico de
Para resolver, vamos achar as derivadas parciais, montar o gradiente, usar derivada direcional e a fórmula do plano tangente.
Passo 2
Primeiro calculamos
As derivadas parciais são
Em
isso vale
Logo o gradiente é
Passo 3
A derivada direcional de
na direção
é
Como
, o potencial decresce nessa direção.
Passo 4
A direção de mais rápido crescimento é a do gradiente
.
A direção unitária é
A direção unitária é
e a taxa máxima de crescimento é
Passo 5
A equação do plano tangente a
em
usa
Substituindo
Resposta
(i)
. Como
, o potencial decresce na direção dada.
(ii) A direção de crescimento mais rápido é (unidade
) e a taxa máxima é
.
(iii) O plano tangente é
(ii) A direção de crescimento mais rápido é
(iii) O plano tangente é