Calcule o volume da cunha no primeiro octante que é cortada do cilindro y^{2}+z^{2}=4 e pelos planos y=x, x=1.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região no primeiro octante, limitada pelo cilindro
y^{2}+z^{2}=4
e pelos planos
y=x \quad\text{e}\quad x=1.
O conteúdo é uma integral tripla em coordenadas cartesianas. Vamos descrever o domínio de integração e em seguida montar a integral.

Passo 2

Em primeiro octante temos
x\ge0,\quad y\ge0,\quad z\ge0.
O cilindro impõe
y^{2}+z^{2}\le4 \quad\Longrightarrow\quad 0\le y\le2,\;0\le z\le\sqrt{4-y^{2}}.
Os planos y=x e x=1 limitam x de x=y até x=1. Para a região não ser vazia precisamos y\le1. Logo o domínio é
0\le y\le1,\quad 0\le z\le\sqrt{4-y^{2}},\quad y\le x\le1.

Passo 3

A integral tripla para o volume V fica
V =\int_{y=0}^{1} \int_{z=0}^{\sqrt{4-y^{2}}} \int_{x=y}^{1} dx\;dz\;dy.
Integrando em x primeiro:
\int_{x=y}^{1}dx = 1 - y,
logo
V =\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{4-y^{2}}} (1-y)\;dz\;dy =\int_{0}^{1}(1-y)\,\sqrt{4-y^{2}}\;dy.

Passo 4

Separe em duas integrais:
\int_{0}^{1}(1-y)\sqrt{4-y^{2}}\,dy =\int_{0}^{1}\sqrt{4-y^{2}}\,dy \;-\;\int_{0}^{1}y\sqrt{4-y^{2}}\,dy.
Para a primeira use a primitiva
\int\sqrt{a^{2}-y^{2}}\,dy =\frac{y}{2}\sqrt{a^{2}-y^{2}} +\frac{a^{2}}{2}\arcsin\!\bigl(\tfrac{y}{a}\bigr),
com a=2. Avaliando de 0 a 1
\int_{0}^{1}\sqrt{4-y^{2}}\,dy =\frac{1}{2}\sqrt{3}+2\arcsin\!\bigl(\tfrac12\bigr) =\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{3}.

Passo 5

Para a segunda integral faça u=4-y^{2}, du=-2y\,dy, logo
\int_{0}^{1}y\sqrt{4-y^{2}}\,dy =-\frac12\int_{u=4}^{3}u^{1/2}du =\frac12\int_{3}^{4}u^{1/2}du =\frac{1}{3}\bigl[\,u^{3/2}\bigr]_{3}^{4} =\frac{8-3\sqrt{3}}{3}.

Passo 6

Subtraindo os resultados:
V =\Bigl(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{3}\Bigr) -\frac{8-3\sqrt{3}}{3} =\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{3}-\frac{8}{3}.
Colocando em uma só fração sobre 6:
V=\frac{9\sqrt{3}+2\pi-16}{6}.

Resposta

V=\frac{9\sqrt{3}+2\pi-16}{6}.

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