Calcule o volume da cunha no primeiro octante que é cortada do cilindro
e pelos planos
.
Passo 1
O enunciado pede o volume da região no primeiro octante, limitada pelo cilindro
e pelos planos
O conteúdo é uma integral tripla em coordenadas cartesianas. Vamos descrever o domínio de integração e em seguida montar a integral.
Passo 2
Em primeiro octante temos
O cilindro impõe
Os planos
e
limitam
de
até
. Para a região não ser vazia precisamos
. Logo o domínio é
Passo 3
A integral tripla para o volume
fica
Integrando em
primeiro:
logo
Passo 4
Separe em duas integrais:
Para a primeira use a primitiva
com
. Avaliando de
a
dá
Passo 5
Para a segunda integral faça
,
, logo
Passo 6
Subtraindo os resultados:
Colocando em uma só fração sobre
: