Mostrar que \lim _{x \rightarrow 3} x^{2}=9.

Passo 1

O enunciado nos pede para provar, pelo critério ε–δ, que
\lim_{x\to 3}x^{2}=9.
O conteúdo aqui é a definição de limite de função real usando ε–δ e a fatoração de x^{2}-9.

Passo 2

Começamos com a definição: seja \varepsilon>0. Queremos encontrar \delta>0 tal que, se
0<|x-3|<\delta,
então
|x^{2}-9|<\varepsilon.

Passo 3

Note que podemos fatorar
|x^{2}-9|=|x-3|\;\bigl|x+3\bigr|.
Para controlar \bigl|x+3\bigr|, imponhamos que \delta\le1. Assim, se |x-3|<\delta\le1, então
2<x<4 \quad\Longrightarrow\quad 5<x+3<7 \quad\Longrightarrow\quad |x+3|\le7.
Logo sob essa condição,
|x^{2}-9|<7\,|x-3|.

Passo 4

Basta agora escolher
\delta=\min\bigl(1,\;\tfrac{\varepsilon}{7}\bigr).
De fato, se 0<|x-3|<\delta então |x^{2}-9|<7\,|x-3|<7\,\delta\le\varepsilon. Isso encerra a prova pelo critério ε–δ.

Resposta

\lim_{x\to 3}x^{2}=9.

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