Calcule as seguintes integrais triplas:
, em que
.
Passo 1
O enunciado pede a integral tripla
onde
O que vamos usar é a escrita como integral iterada em
,
e
, depois calcular a integral interna em
(substituição
) e, em seguida, as integrais em
e
.
Passo 2
Escrevemos a integral como iterada, seguindo os limites dados:
Passo 3
Calculamos primeiro
Fazendo
, temos
, então
Logo a integral tripla vira
Passo 4
Separamos essa integral em duas partes:
de modo que o valor procurado é
.
Passo 5
Para
:
Aqui
e, por partes,
Logo
Logo
Passo 6
Para
:
Portanto a integral original vale