Calcule as seguintes integrais triplas:
\iiint_{E} e^{\frac{z}{y}} d V, em que \left.E=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 0 \leq y \leq 1, y \leq x \leq 1,0 \leq z \leq x y\right)\right\}.

Passo 1

O enunciado pede a integral tripla
\iiint_{E} e^{\frac{z}{y}}\,dV,
onde
E=\bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : 0\le y\le1,\;y\le x\le1,\;0\le z\le x\,y\bigr\}.
O que vamos usar é a escrita como integral iterada em z, x e y, depois calcular a integral interna em z (substituição u=z/y) e, em seguida, as integrais em x e y.

Passo 2

Escrevemos a integral como iterada, seguindo os limites dados:
\iiint_{E} e^{\frac{z}{y}}\,dV =\int_{y=0}^{1}\int_{x=y}^{1}\int_{z=0}^{xy} e^{\frac{z}{y}}\,dz\,dx\,dy.

Passo 3

Calculamos primeiro
\int_{z=0}^{xy} e^{\frac{z}{y}}\,dz.
Fazendo u=\tfrac{z}{y}, temos dz=y\,du, então
\int_{0}^{xy} e^{\frac{z}{y}}\,dz = \int_{u=0}^{u=x} e^{u}\,y\,du = y\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{x} = y\bigl(e^{x}-1\bigr).
Logo a integral tripla vira
\int_{y=0}^{1}\int_{x=y}^{1} y\bigl(e^{x}-1\bigr)\,dx\,dy.

Passo 4

Separamos essa integral em duas partes:
I_1 = \int_{0}^{1}\int_{x=y}^{1} y\,e^{x}\,dx\,dy, \quad I_2 = \int_{0}^{1}\int_{x=y}^{1} y\,dx\,dy,
de modo que o valor procurado é I_1 - I_2.

Passo 5

Para I_1:
I_1 = \int_{y=0}^{1} y\bigl[\int_{x=y}^{1}e^{x}dx\bigr]dy = \int_{0}^{1} y\bigl(e-e^{y}\bigr)\,dy = e\!\int_{0}^{1}y\,dy \;-\;\int_{0}^{1}y\,e^{y}\,dy.
Aqui \int_{0}^{1}y\,dy=1/2 e, por partes, \displaystyle\int_{0}^{1}y\,e^{y}dy =\bigl[y\,e^{y}\bigr]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}e^{y}dy =e-(e-1)=1.
Logo
I_1 = e\cdot\frac12 - 1 = \frac{e}{2}-1.

Passo 6

Para I_2:
I_2 = \int_{0}^{1} y\bigl[\int_{x=y}^{1}dx\bigr]dy = \int_{0}^{1} y(1-y)\,dy = \bigl[\tfrac{y^{2}}{2}-\tfrac{y^{3}}{3}\bigr]_{0}^{1} = \frac12-\frac13 = \frac{1}{6}.
Portanto a integral original vale
I_1 - I_2 = \Bigl(\frac{e}{2}-1\Bigr)-\frac{1}{6} = \frac{e}{2}-\frac{7}{6}.

Resposta

\boxed{\frac{e}{2}-\frac{7}{6}}.

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