Calcule o volume entre as curvas:
(a) Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região entre as curvas
em torno do eixo
;
(a) Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região entre as curvas
Passo 1
Resumo do Enunciado:
Precisamos calcular o volume do sólido que resulta da rotação da área entre as curvas
e
em torno do eixo
.
Conteúdo da Matéria:
Vamos usar o método dos discos para encontrar o volume de sólidos de revolução.
O que vamos precisar para resolver:
- Encontrar os pontos de interseção das curvas.
- Identificar qual curva está acima da outra no intervalo de integração.
- Configurar e calcular a integral usando o método dos discos.
Passo 2
Encontrando os Pontos de Interseção:
Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo:
Assim, os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Identificando a Curva Superior e Inferior:
No intervalo de
a
, precisamos saber qual das duas curvas está acima da outra para aplicar corretamente o método dos discos.
Vamos testar um valor dentro do intervalo, por exemplo,
:
Portanto,
está acima de
nesse intervalo.
Passo 4
Configurando a Integral com o Método dos Discos:
O volume
do sólido de revolução é dado por:
Onde:
-
-
-
e
Passo 5
Calculando a Integral:
Substituindo os valores na fórmula:
Primeiro, expandimos
:
Substituindo de volta na integral:
Integrando termo a termo:
Então, o volume fica:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.