Calcule o volume entre as curvas:
(a) Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região entre as curvas y = x^2 e y = 4x - x^2 em torno do eixo x;

Passo 1

Resumo do Enunciado:
Precisamos calcular o volume do sólido que resulta da rotação da área entre as curvas e em torno do eixo .
Conteúdo da Matéria:
Vamos usar o método dos discos para encontrar o volume de sólidos de revolução.
O que vamos precisar para resolver:
  1. Encontrar os pontos de interseção das curvas.
  2. Identificar qual curva está acima da outra no intervalo de integração.
  3. Configurar e calcular a integral usando o método dos discos.

Passo 2

Encontrando os Pontos de Interseção:
Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo:
Assim, os pontos de interseção são e .

Passo 3

Identificando a Curva Superior e Inferior:
No intervalo de a , precisamos saber qual das duas curvas está acima da outra para aplicar corretamente o método dos discos.
Vamos testar um valor dentro do intervalo, por exemplo, :
Portanto, está acima de nesse intervalo.

Passo 4

Configurando a Integral com o Método dos Discos:
O volume do sólido de revolução é dado por:
Onde:
  • e

Passo 5

Calculando a Integral:
Substituindo os valores na fórmula:
Primeiro, expandimos :
Substituindo de volta na integral:
Integrando termo a termo:
Então, o volume fica:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados