Calcule o volume do elipsóide dado por 9 x^2+9 y^2+z^2=36.

Passo 1

O enunciado pede o volume do elipsóide definido por
9x^2+9y^2+z^2=36
O conteúdo envolvido é cálculo de volume de sólidos via mudança de variáveis ou aplicação direta da fórmula do volume de um elipsóide.

Passo 2

Para identificar os semieixos, dividimos a equação por 36, obtendo a forma padrão
x^24 + y^24 + z^236 = 1
Dessa forma os comprimentos dos semieixos são
a = 2, b = 2, c = 6

Passo 3

Podemos usar a mudança de variáveis
x = 2u, y = 2v, z = 6w
que envia o elipsóide na bola unitária
u^2+v^2+w^2<=1
O Jacobiano dessa transformação é
l|det Jr| = 2 cdot 2 cdot 6 = 24

Passo 4

O volume da bola unitária em R^3 é tfrac43pi. Portanto o volume do elipsóide é
V = 24 times 43pi = 32pi

Resposta

V = 32pi

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