Use uma integral dupla para encontrar o volume do sólido limitado pelos gráficos das equações dadas.
z=x y, z=0, y=x, x=1 (primeiro octante);

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido no primeiro octante limitado por
  • a superfície z=xy,
  • o plano z=0,
  • os planos verticais y=x e x=1.
    O conteúdo é integrar a função f(x,y)=xy sobre a região D projetada no plano xy, usando
V=integral duplaDxy,dA

Passo 2

Precisamos achar a projeção D no plano xy. No primeiro octante temos x>=0 e y>=0, e as fronteiras são as retas y=x e x=1. Logo D é o triângulo de vértices (0,0), (1,0), (1,1), descrito por
0<= x<=1, 0<= y<= x

Passo 3

Escrevemos a integral dupla para o volume:
V=integralx=0^1integraly=0^xxy,dy,dx

Passo 4

Calculamos primeiro a integral interna em y:
integral0^xxy,dy = xintegral0^xy,dy = x[y^22]0^x = x^32

Passo 5

Agora integramos em x:
V =integral0^1x^32,dx =12integral0^1x^3,dx =12[x^44]0^1 =12cdot14 =18

Resposta

O volume do sólido é tfrac18.

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