Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região de integração
e calcular a integral iterada
O conteúdo que vamos usar inclui o Teorema de Fubini (troca da ordem de integração) e técnicas de integração por substituição.
Passo 2
Para esboçar
, note que as desigualdades são
No plano
, isso é o triângulo abaixo da reta
, acima do eixo
e à esquerda da reta
. Em outras palavras, é o triângulo de vértices
,
e
.
Passo 3
Pelo Teorema de Fubini, podemos trocar a ordem de integração. Originalmente temos
Invertendo, a variável
vai de
a
e, para cada
,
varia de
até
. Assim
Passo 4
Dentro da nova integral,
independe de
, então
Logo a integral dupla vira
Usamos a substituição
, então
ou
. Quando
vai de
a
,
vai de
a
. Assim