Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
integral0^1 integraly^x sen(x^2) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região de integração
R = (x,y)mid 0<= y<= x<=1
e calcular a integral iterada
integral0^1integraly^1sinl(x^2r),dx,dy
O conteúdo que vamos usar inclui o Teorema de Fubini (troca da ordem de integração) e técnicas de integração por substituição.

Passo 2

Para esboçar R, note que as desigualdades são
0<= y<= x<=1
No plano xy, isso é o triângulo abaixo da reta x=1, acima do eixo y=0 e à esquerda da reta y=x. Em outras palavras, é o triângulo de vértices (0,0), (1,0) e (1,1).

Passo 3

Pelo Teorema de Fubini, podemos trocar a ordem de integração. Originalmente temos
integral0^1l(integraly^1sin(x^2),dxr)dy
Invertendo, a variável x vai de 0 a 1 e, para cada x, y varia de 0 até x. Assim
integral0^1integraly^1sin(x^2),dx,dy =integral0^1integral0^xsin(x^2),dy,dx

Passo 4

Dentro da nova integral, sin(x^2) independe de y, então
integral0^xsin(x^2),dy =sin(x^2)integral0^xdy =x,sin(x^2)
Logo a integral dupla vira
integral0^1x,sin(x^2),dx
Usamos a substituição u=x^2, então du=2x,dx ou x,dx=tfrac12,du. Quando x vai de 0 a 1, u vai de 0 a 1. Assim
integral0^1x,sin(x^2),dx =12integral0^1sin(u),du =-12l[cos(u)r]0^1 =12l(1-cos(1)r)

Resposta

1-cos(1)2

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